Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» В. Кравчука 7 клас - 2015 рік

Задачі за курс алгебри 7 класу

1027. 2а+ 5b.

1028. s = 80t + 70 ∙ 2; s = 80t + 140. Якщо t = 1,2, то s = 80 ∙ 1,2 + 140 = 236 (км).

1029. V = 3 ∙ 60(а + b); V = 180(а + b) л води.

1033. a) 8x²xy = 8x³y (степінь 4);

б) -3a²b ∙ 2(a⁵)² = -6a¹² ∙ b (степінь 13);

в) -m³ ∙ 3m²n ∙ 5n⁴ = -15m⁵n⁵ (степінь 10);

r) 0,5ac ∙ (-4a³c)² ∙ a²c = 8a⁹c⁴ (степінь 13);

(степінь 8);

(степінь 9).

1037. а) Якщо a = -1/2; b = 1/5; то

б) Якщо x = 0,25; у = 4, то (2x³y)² ∙ y⁴ = 4x⁶y²y⁴ = 4x⁶y⁶ = 4 ∙ 0,25⁶ ∙ 4⁶ = 4 ∙ (0,25 ∙ 4)⁶ = 4 ∙ 1⁶ = 4.

1039. a) 3x² - 6x + x² - 3 + x = 4x² - 5x - 3 (степінь многочлена 2);

б) 3а ∙ 2ab + а⁵ - а³ + 7а²b = 6а²b + а⁵ - а³ - 7а²b = а⁵ - а²b - а³ (степінь 5);

в) 0,6а²b - 1,4b²а + 2,8а²b + 3,2аb² = 3,4а²b + 1,9ab² (степінь 3);

г) (степінь 3).

тотожність, бо

правильна рівність;

тотожність, бо

правильна рівність;

тотожність, бо

правильна рівність.

1054. а) 9⁷ - 3¹² = (3²)⁷ - 3¹² = 3¹⁴ - 3¹² = 3¹² ∙ (3² - 1) = 3¹² ∙ 8 ділиться на 8, бо 8 ділиться на 8;

б) 49⁸ + 3 ∙ 7¹⁵ = (7²)⁸ + 3 ∙ 7¹⁵ = 7¹⁶ + 3 ∙ 7¹⁵ = 7¹⁵ ∙ (7 + 3) = 7¹⁵ ∙ 10 — ділиться на 10, бо 10 ділиться на 10.

1056. а) Якщо а = 1,5, то а² - 0,5а² = а²(а - 0,5) = 1,5² ∙ (1,5 - 0,5) = 2,25 ∙ 1 = 2,25.

б) Якщо х = -0,3; у = -10,3, то х² - 2ху + у² = (х - у)² = (-0,3 - (-10,3))² = (-0,3 + 10,3)² = 10² = 100.

1057. (х + 1)² - (х - 1)(х + 3) = х² + 2х + 1 - х² + х - 3х + 4 = 5.

Отже, значення даного виразу не залежить від значень змінної х.

1058. а) (2n + 3)² - (2n - 1)² = (2n + 3 — 2n + 1)(2n + 3 + 2n - 1) = 4 ∙ (4n + 2) = 4 ∙ 2(2n + 1) = 8(2n + 1) ділиться на 8, бо 8 ділиться на 8;

б) (8n - 4)² - 8(4n - 3) = 64n² — 64n + 16 — 32n + 24 = 64n² — 96n + 40 = 32(2n² — 3n) + 40 — не ділиться на 32.

1059. х² + 2х + 9 = х² + 2х + 1 + 8 = (х + 1)² + 8. Значення даного виразу є найменшим при х = -1 і дорівнює 9.

1060. 2 - х² + 4х = -х² + 4х + 2 = -(х² - 4х) + 2 = -(х² -4х + 4) + 4 + 2 = -(х² - 4х + 4) + 6 = -(х - 2)² + 6. Значення виразу є найбільшим при х = 2 і дорівнює 6.

ділиться на 9.

1062. а і b — натуральні числа, а⁴ — b⁴ = (а² - b²)(а² + b²) - (а - b)(а + b)(а² + b²) — не може бути простим числом, бо має дільники (а - b); (а + b); (а² + b²).

1063. х² + у² - 4у + 2х = (х² - 2х+ 1) - 1 + (у² - 4у + 4) - 4 = (х - 2)² + (у - 2)² = -5. Найменше значення, яке приймає вираз, дорівнює -5.

1064. Нехай дані числа 3х + 1 і 3х + 2. Тоді їх сума 3х + 1 + 3х + 2 = 6х + 3 = 3(2х + 1) ділиться на 3.

1065. Нехай половина шляху становить а км, тоді перший велосипедист витратив год, а другий велосипедист витратив год.

тому

Отже, перший велосипедист витратив часу більше на шлях від А до В.

1066. а) у = -2х + 3;

б) у = -2х + 3;

-2х + 3 = 3; -2х = 0; х = 0;

-2х + 3 = 1; -2х = -2; х = 1.

в) -2х + 3 = х; -3х = 3; х = 1.

Для х = 1 значення функції у = 1.

1067. у = 2х - 0,5.

а) Якщо х = -0,5, то у = -1,5; якщо х = 1,5, то у = 2,5.

б) у = 1,5 при x = 1.

1068. у = 0,5x + 1, -4 ≤ x ≤ 3.

1. Область визначення функції -4 ≤ х ≤ 3.

2. Область значень функції -1 ≤ у ≤ 2,5.

3. х = -2 — нуль функції.

4. Найбільше значення функції дорівнює 2,5; найменше значення функції дорівнює -1.

5. Функція набуває додатних значень при -2 < х ≤ 3.

Функція набуває від’ємних значень при -4 ≤ х < -2.

1069. а) у = -х + 1, де -3 ≤ х ≤ 2;

б) у = 2х² - 2, де -2 ≤ x ≤ 2;

в) y = 1,5x;

г) y = -1,5x;

д) у = 3x + 1;

e) y = -1,5x - 1.

1070. у = kx. А(2; 7) належить графіку, тому 7 = k ∙ 2; k = 3,5. Отже, у = 3,5x.

В(-4; -14) — належить графіку у = 3,5x, бо -14 = 3,5 ∙ (-4) — правильна рівність.

1071. Область визначення функції 0 ≤ х ≤ 10.

Область значень функції 0 ≤ у ≤ 5.

а) Якщо 0 ≤ х ≤ 2, то у = 2,5х.

б) Якщо 2 ≤ х ≤ 6, то у = 5.

1072. а) у = 1,5x;

y = -x + 5;

(2; 3) — точка перетину даних графіків функцій.

б) у = -2х; у = 2.

(-1; 2) — точка перетину графіків даних функцій.

1073. Якщо точка належить осі абсцис, то значення ординат точки дорівнює нулю, тоді 2х + 4 = 0; 2х = -4; х = -2.

(-2; 0) — точка перетину графіка функцій у = 2х + 4 з віссю Ох. В цій же точці повинен перетинати вісь Ох і графік функції у = 3х + b.

0 = 3 ∙ (-2) + b; b = 6.

рівняння коренів не має;

1076. а) y³ - 3у² = 0; у²(у - 3) = 0; у² = 0 або у - 3 = 0; у = 0 або у = 3;

або або або або

в) х² - 6х + 9 = 0; (х - 3)² = 0; х - 3 = 0; х = 3;

г) х³- 2х² - 4х + 8 = 0; х²(х - 3)- 4(х - 2) = 0; (х - 2)(х² - 4) = 0; (х - 2)(х - 2)(х + 2) = 0; (х - 2)²(х + 2) = 0; х - 2 = 0 або х + 2 = 0; х = 2 або х = -2;

д) у² + 2у - 48 = 0; у² + 2у + 1 - 49 = 0; (у + 1)² - 7² = 0; (y + 1 - 7)(у + 1 + 7) = 0; (у - 6)(у + 8) = 0; у - 6 = 0 або у + 8 = 0; у = 6 або у = -8;

е) z² — 15z + 56 = 0; z² - 7z - 8z + 56 = 0; z(z - 7) - 8(z - 7) = 0; (z - 7)(z - 8) = 0; z - 7 = 0 або z - 8 = 0; z = 7 або z = 8.

1077. а) |3 - 2х| = 5;

3 - 2х = 5 або 3 - 2х = -5;

x = 8 або x = -8;

або |x| - 2 = -6;

|x| = -6 + 2;

|x| = -4;

рівняння не має коренів.

1078. а) (|x| + 5)(3|x| - 9) = 0

|x| + 5 = 0

|x| = -5;

рівняння не має коренів;

або 3|х| -9 = 0;

3|х| = 9;

|x| = 9 : 3; |x| = 3;

х = 3 або х = -3;

б) |x(x - 2)| + x² = 0;

Відповідь: 0.

в) x² + 2|x| + 1 = 0; (|x| + 1)² = 0; |x| + 1 = 0; |x| = -1; рівняння коренів не має.

1079. x⁴ + 1 + (x - 2)⁴ = 2x²; (x⁴ — 2x² + 1) + (x - 2)⁴ = 0; (x² - 1)² + (x - 2)⁴ = 0 — умова виконується, коли доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння матиме корені лише за умови, що але ця система не має розв’язків. Тому рівняння коренів не має.

1080. |x + 4| = |7 - x|.

x ≤ -4: -x - 4 = 7 - x; 0x = 11; рівняння коренів не має;

-4 ≤ x < 7: x + 4 = 7 - x; 2x = 11; x = 11 : 2; x = 5,5 — корінь рівняння, -4 < 5,5 < 7;

x ≥ 7: x + 4 = -7 + x; 0x = -11; рівняння коренів не має.

Відповідь: x = 5,5.

1081. Нехай менша сторона x см, тоді більша сторона дорівнює (x + 3,6) см. За умовою задачі (x + x + 3,6) ∙ 2 = 68,4; 2x + 3,6 = 34,2; 2x = 34,2 - 3,6; 2x = 30,6; x = 30,6 : 2; x = 15,3 см — менша сторона; 15,3 + 3,6 = 18,9 см — більша сторона.

Відповідь: 15,3 см; 18,9 см.

1082. Нехай менше число дорівнює x, тоді більше число 2,4x. За умовою задачі x + 2,4x = 52,7; 3,4x = 52,7; x = 52,7 : 3,4; x = 15,5 — менше число; 15,5 ∙ 2,4 = 37,2 — більше число.

Відповідь: 15,5 і 37,2.

1083. Нехай у другій цистерні x л бензину, тоді у першій цистерні 3x л бензину. Коли з першої цистерни забрали 400 л бензину, в ній залишилось (3x - 400) л бензину, коли з другої цистерни забрали 800 л бензину, в ній залишилось (x - 800) л бензину. У першій цистерні стало у 8 разів більше бензину. Тому 3x - 400 = 8(x - 800); 3x - 400 = 8x - 6400; 3x — 8x = 6400 + 400; -5x = -6000; x = 6000 : 5; x = 1200 л бензину у другій цистерні; 1200 ∙ 3 = 3600 л бензину у першій цистерні.

Відповідь: 1200 л; 3600 л.

1084. Нехай автомобіль наздожене мотоцикліста через x годин, тоді автомобіль проїхав 60x км, а мотоцикліст 40(x + 0,5) км. За умовою вони проїхали однакову відстань. Тому 60x = 40(x + 0,5); 60x = 40x + 20; 60x — 40x = 20; 20x = 20; x = 20 : 20; x = 1. Отже, автомобіль наздожене мотоцикліста через 1 годину.

1085. Нехай маса листа сталі x кг, тоді в ньому 0,15x кг хрому, 0,005x кг нікелю, а заліза (0,15x + 2,78) кг. Тоді x - 0,15x + 0,005x + 0,15x + 2,78; x - 0,305x = 2,78; 0,695x = 2,78; x = 2,78 : 0,695; x = 4 (кг) — маса листа сталі.

1086. Нехай до першої зустрічі автобус і автомобіль були на відстані x км. Тоді до другої відстані автобус пройшов (x - 10) км і потратив на це год, автомобіль пройшов (x + 10) км і потратив год. Автомобіль був у дорозі на 15 хв = 1/4 год менше (відпочивав). Тому

x = 130(км) — відстань від міста N до місця першої зустрічі автобуса і автомобіля.

Відповідь: 130 км.

1087. 2x + 5y = -3.

(2; -1) — не є розв’язком даного рівняння, бо 2 ∙ 2 + 5 ∙ (-1) = -3 — неправильна рівність.

1088. а) x + 3у = 3;

б) 2x — 3y = 6;

в) 2x = 5;

x = 2,5;

Г) -3y = 6;

y = -2.

1089. Побудуємо в одній системі координат графіки рівнянь:

x - y = 2 і x + 2у = 5

Координати точки перетину — розв’язок системи рівнянь.

Відповідь: (3; 1).

Відповідь: (2; 2).

Відповідь: (-1; -2).

Відповідь: (4; 7).

Відповідь: (3; 1).

Відповідь: (0,2; -1,2).

Відповідь:

Відповідь: (-4; -4).

Якщо графіки перетинаються, то в точках перетину значення у рівні

(0,5; -1) — точка перетину графіків даних рівнянь.

1094. Знайдемо точку перетину графіків рівнянь 2х + 4у = -6 і 10x - у = 12.

(1; -2) — точка перетину графіків даних рівнянь.

3 ∙ 1 + (-2) = 1 — правильна рівність, тому точка (1; -2) належить графіку рівняння 3x + у = 1.

1095. у = kх + b — графік проходить через А(-1; 1) і В(3; -7).

Отже, у = -2x - 1.

При k = 10 система має безліч розв’язків.

1097. Нехай х і у — шукані числа, тоді

Відповідь: 11,4 і 9,1.

1098. Нехай 1 станок за 1 год виготовляє x деталей, а 2 станок — у деталей. Тоді

Відповідь: 120 і 130 деталей.

1099. Нехай швидкості туристів х км/год і у км/год. Тоді

Відповідь: 4,5 км/год; 4 км/год.

1100. Нехай братові х років, сестрі у років. Тоді

Відповідь: 7 років; 3 роки.

1101. Нехай молока з 5 % жиру взяли x л, а молока з 3,5 % жиру у л. Тоді

Відповідь: