Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 3. Функції

п. 29. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь

1078. Нехай х і у — шукані числа, тоді

Відповідь: 41 і 22 — шукані числа.

1079. Нехай x і у — дані числа, тоді

Відповідь: 15 і -8 — шукані числа.

1080. Нехай синього сукна куплено х м, а чорного у м, тоді за синє заплатили 5x рублів, а за чорне 3у рублів.

Маємо систему:

Відповідь: куплено 63 м синього сукна і 75 м чорного сукна.

1081. Нехай чотиримісних було х човнів, шестимісних — у.

Тоді

Отже, чотиримісних човнів було 7, а шестимісних — 3 човни.

1082. Нехай х кг сіна — денна норма для коня, у кг — денна норма для корови.

Тоді:

Відповідь: 9 кг і 7 кг.

1083. Нехай гусеничний трактор може зорати за день х га, а колісний — у га.

Тоді:

Отже, гусеничний зоре 8 га на день, а колісний — 6 га.

1084. Нехай x деталей виготовив за день І робітник, а у деталей — II робітник.

Тоді:

Відповідь: І робітник виготовляв 9 деталей за день, а II — 6 деталей за день.

1085. Нехай за 1 годину перша бригада збирала ж ц яблук, а друга — у ц яблук.

Тоді:

Відповідь: перша бригада збирала по 4 ц яблук, друга — по 5 ц яблук.

1086. Нехай набір олівців коштує х грн., а циркуль — у грн.

Тоді

Відповідь: набір олівців коштує 14 грн., а циркуль — 12 грн.

1087. Нехай х грн. коштує зошит, у грн. — ручка.

Тоді

Відповідь: зошит коштує 3 грн., а ручка — 2 грн.

1088. Нехай швидкість автобуса х км/год, а автомобіля у км/год.

Тоді

Відповідь: швидкість автобуса 58 км/год, автомобіля 70 км/год.

1089. Нехай х км/год — швидкість пасажирського поїзда, у км/год — товарного поїзда.

Тоді

Відповідь: швидкість пасажирського поїзда 60 км/год, товарного 40 км/год.

1090. Нехай х км/год — швидкість пішохода, а у км/год — швидкість велосипедиста.

Тоді

Відповідь: 4 км/год — швидкість пішохода, 16 км/год — швидкість велосипедиста.

1091. Нехай швидкість автомобіля з Житомира х км/год, а з Одеси у км/год.

Тоді

Відповідь: швидкість 1 автомобіля 84 км/год, а 2 автомобіля — 79 км/год.

1092. Нехай у І бідоні х л молока, а в II бідоні у л.

Тоді

Відповідь: у І бідоні 80 л молока, а в II бідоні 60 л.

1093. Нехай у 1 вагоні х пасажирів, у 2 вагоні — у пасажирів.

Тоді

Відповідь: у 1 вагоні 28 пасажирів, у 2 вагоні 36 пасажирів.

1094. Нехай х км/год — власна швидкість човна, у км/год — швидкість течії річки.

Тоді

Відповідь: власна швидкість човна 18 КМ/ГОД, ШВИДКІСТЬ течії 2 км/год.

1095. Нехай х км/год — власна швидкість катера, у км/год — швидкість течії річки.

Тоді:

Відповідь: 25 км/год — власна швидкість катера, 2,5 км/год — швидкість течії річки.

1096. Нехай віслюк ніс х мішків, а мул — у мішків.

Тоді:

Відповідь: віслюк ніс 5 мішків, мул — 7 мішків.

1097. Нехай у першого було х рупій, а у другого у рупій.

Тоді:

Відповідь: у першого 40 рупій, у другого 170 рупій.

1098. Нехай батькові х років, синові у років.

Тоді:

Відповідь: батькові 42 роки, синові 15 років.

1099. Нехай бабусі х років, онуці у років.

Тоді:

Відповідь: бабусі 60 років, онуці 12 років.

1100. Нехай перша майстриня мала пошити х костюмів, друга — у костюмів.

Тоді:

Відповідь: перша майстриня мала пошити 45 костюмів, друга — 30 костюмів.

1101. Нехай у Михайла було х гри., у Галини у грн.

Тоді:

Відповідь: у Михайла було 18 грн., у Галини 42 грн.

1102. Нехай початкова вартість огірків х грн., помідорів у грн.

Тоді 4х + 3у = 24.

Після зміни вартості огірки стали коштувати х + 0,5х = 1,5х грн., а помідори у - 0,2у = 0,8у; тоді 2 ∙ 1,5х + 5 ∙ 0,8y = 25.

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: спочатку огірки коштували 3 грн., помідори — 4 грн.

1103. Нехай банка фарби коштувала х гри., оліфи — у грн. Тоді 2х + 3у = 64. Після зміни ціни банка фарби стала коштувати 0,5х грн., а оліфи 1,4y грн. Тоді 6 ∙ 0,5х + 5 ∙ 1,4y = 116.

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: банка фарби коштувала 20 грн., оліфи — 8 грн.

1104. Нехай на перший рахунок вкладник поклав х грн., на другий — у грн.

Тоді

Відповідь: на 1 рахунок покладено 800 грн., на 2 рахунок 600 грн.

1105. Нехай на 1 рахунок вкладник поклав х грн., на другий — у грн.

Тоді

Відповідь: на 5 % рахунок покладено було покладено 900 грн., на 7 % рахунок — 300 грн.

1106. За умовою задачі маємо систему рівнянь:

Відповідь: а = 120; b = 100.

1107. Нехай х і у — дані числа, тоді:

Відповідь: шукані числа 12 і 15.

1108. Нехай першого сплаву необхідно взяти x кг, другого — у кг.

Тоді

Відповідь: треба взяти 100 кг першого сплаву і 200 кг другого.

1109. Нехай першого розчину треба взяти х кг, другого — у кг.

Тоді

Відповідь: першого розчину 20 кг, другого — 30 кг.

1110. Нехай — шукане число.

Тоді

Отже, шукане число 87.

1111. Нехай х і у — сторони прямокутника.

Тоді х + у = 14, (х + 6)(y - 2) - ху = 24, або ху + 6y - 2х - 12 - ху = 24.

Відповідь: сторони даного прямокутника 6 см і 8 см.

1112. Нехай х і у — сторони даного прямокутника.

Тоді

Відповідь: 5 см і 7 см.

1113. Нехай х км/год — швидкість велосипедиста, у км/год — швидкість пішохода. Тоді 3х + 3у = 45, або х + у = 15 і

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: швидкість велосипедиста 12 км/год, пішохода — 3 км/год.

1114. Нехай х км/год — швидкість одного туриста, а у км/год — швидкість другого туриста.

Тоді

Відповідь: швидкість одного туриста 5 км/год, швидкість другого 4 км/год.

1115. Нехай х км/год — швидкість велосипедиста, у год — запланований час. Тоді шлях від А до В — ху км. Якби швидкість була (х + 3) км/год, то часу потрачено б було (у - 1) год. А якби швидкість була (х - 2) км/год, то часу потрачено б було (у + 1) год.

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: швидкість велосипедиста 12 км/год.

1116. Нехай було х вантажівок вантажопідйомністю у т. Тоді маса вантажу ху.

Якби на кожній машині було (у + 1) т, то вантажівок було б (х - 3). Тоді маса вантажу (х - 3)(у + 1), що дорівнює ху. Отже, (х - 3)(у + 1) = ху.

Якби вантажу було на кожній машині (у + 2) т, то вантажівок би було (х - 5). Тоді (х - 5)(у + 2) = ху.

Маємо систему рівнянь:

15 вантажівок вантажопідйомністю 4 т перевезли вантаж 15 ∙ 4 = 60 т.

Відповідь: 60 т.

1117. Нехай х км/год — швидкість пасажирського поїзда, а у год — час, витрачений на шлях між станціями пасажирським поїздом. Тоді швидкість товарного поїзда (х - 25) км/год, а час, за який товарний пройшов шлях, (у + 3) год. Швидкість експресу (х + 15) км/год, а час — (у - 1) год.

Звідси:

75 км/год — швидкість пасажирського поїзда;

75 - 25 = 50 (км/год) — швидкість товарного поїзда;

75 + 15 = 90 (км/год) — швидкість поїзда-експреса;

75 ∙ 6 = 450 (км) — відстань між станціями.

1118. Нехай х (км/год) — швидкість автобуса, а у (км/год) — швидкість маршрутного таксі.

Тоді

Відповідь: швидкість автобуса 48 км/год, швидкість маршрутного таксі 60 км/год.

1119. Нехай х км/год — швидкість автобусів, у км/год — швидкість велосипедиста. Тоді перший автобус до зустрічі з велосипедистом проїхав 40 хв, велосипедист 15 хв.

Тому

Другий автобус до зустрічі з велосипедистом проїхав 30 хв, а велосипедист 45 хв.

Тому

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: швидкість автобусів 48 км/год, велосипедиста —16 км/год.

1120. Нехай першої речовини х г, другої — у г.

Тоді

Відповідь: першої речовини 320 г, другої — 480 г.

1121. Нехай міді було х кг, цинку у кг.

Тоді

Відповідь: міді було 63 кг, цинку — 15 кг.

1122. Нехай — дане число.

Тоді х + y = 9 і = (х - y) ∙ 14 + 2.

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: 72 — шукане число.

1123. Нехай —дане число, тоді у - х = 6 і = 3(х + у) + 3, або 10х + у - 3х - 3у = 3, тобто 7х - 2у = 3.

Маємо систему рівнянь:

Отже, шукане число 39.

1124. Нехай х л — об’єм першого баку, у л — об’єм другого баку.

Тоді

Відповідь: об’єм першого баку 24 л, об’єм другого баку 40 л.

1125. Нехай у першій посудині було х л, у другий — у л води спочатку.

Тоді

Відповідь: 28 л і 42 л.

1126. Нехай — шукане число.

Тоді:

Система розв’язків не має. Отже, такого числа не існує.

Система має безліч розв’язків.

Отже, такі числа існують. Це будь-які числа, у яких число десятків па 2 більше числа одиниць.

Наприклад: 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

1134. x² + y² = (x + y)² - 2xy; c = a² — 2b, або a² = c + 2b.

1135. A(2; 3) лежить на прямій у = kx, тоді 3 = k ∙ 2, звідси k = 1,5; у = 1,5х.

В(5; а) належить прямій у = 1,5х, тоді а = 1,5 ∙ 5; a = 7,5.

1136. (a - 1)² + 4(a - 1) - x = (a - 1)² + 2 ∙ 2(a - 1) + 2² = (a - 1 + 2)² = (a + 1)².

Вираз можна розкласти на множники за формулою квадрата суми, якщо замість -х підставити 4, тоді -х = 4; х = -4.

1137. (2; y) — точка перетину;

Відповідь: у = 8; (2; 8) — точка перетину графіків.

1139.

Значення виразу не залежить від значення змінної.

1154. Якщо значення многочленів від’ємні, то сума значень многочленів також від’ємна.

-4х² - 12ху + 7у² + 6х² + 12ху - 5у² = 2х² + 2у².

Але 2х² + 2у² додатне при будь-яких значеннях х і у. Тому дані многочлени одночасно набувати від’ємних значень не можуть.

1155. 1) Якщо а = -0,2, то 2а(3а - 5) - 4а(4а - 5) = 6а² - 10а - 16а² + 20а = 10а - 10а² = 10а(1 - а) = 10 ∙ (-0,2) ∙ (1 + 0,2) = -2 ∙ 1,2 = -2,4.

2) Якщо а = -3, b = 5, то 7аb(2а — 3b) + 2а(3аb + 10b²) = 14а²b - 21аb² + 6а²b + 20аb² = 20а²b - аb² = аb(20а - b) = -3 ∙ 5 ∙ (20 ∙ (-3) - 5) = -15 ∙ (-65) = 975.

3) Якщо а = -1, то 2а⁴(3а² + а - 8) - 6а⁶ = 6а⁶ + 2а⁵ - 16а⁴ - 6а⁶ = 2а⁵ - 16а⁴ = 2а⁴(а - 8) = 2 ∙ (-1)⁴ ∙ (-1 - 8) = 2 ∙ (-9) = -18.

рівняння коренів не має;

4) 18x² — 6x(3x + 2) = -12x; 18x² — 18x² — 12x = -12x; 0x = 0; коренем рівняння є будь-яке число.

1158. 1) -0,2X³(2,5X - 4)(6 - x²) = 0,5x⁶ - 0,8x⁵ — 3x⁴ + 4,8x³ — тотожність;

-0,2x³(15x - 24 - 2,5x³ + 4x²) = 0,5x⁶ - 0,8x⁵ — 3x⁴ + 4,8x³;

-3x⁴ + 0,5x⁶ + 4,8x³ - 0,8x⁵ = 0,5x⁶ - 0,8x⁵ — 3x⁴ + 4,8x³ — рівність правильна;

2) (а - 2)(а² + 3а - 18) = (а - 3)(а² + 4а - 12) — тотожність;

а³ - 2а² + 3а² - 6а - 18а + 36 = а³ + 4а² - 12а - 3а² - 12а+ 36;

а³ + а² - 24а + 36 = а³ + а² - 24а + 36 — рівність правильна.

1159. (5л + а)(х - 2) = 5x² — 7x - 2а; 5x² — 10x + ах - 2а = 5x² — 7x - 2а; 5x² - (10 - а)x - 2а = 5x² — 7x- 2а, звідси 10 - а = 7, тоді а = 3.

1162. 1) Якщо а = 5,28, то а² + 4,72а - 32,8 = а(а + 4,72) - 32,8 = 5,28 ∙ (5,28 + 4,72) - 32,8 = 5,28 ∙ 10 - 32,8 = 52,8 - 32,8 = 20.

2) Якщо x = 8,14, у = 8,04, то 12,3x - 12,3у + 4,7 = 12,3(x - у) + 4,7 = 12,3 ∙ (8,14 - 8,04) + 4,7 = 12,3 ∙ 0,1 + 4,7 = 1,23 + 4,7 = 5,93.

1164. 1) 17³ + 17² - 17 = 17 ∙ (17² + 17 - 1) = 17 ∙ 305 — кратне 61, бо 305 кратне 61;

2) 25⁴ - 125² = (5²)⁴ - (5³)² = 5⁸ - 5⁶ = 5⁶ ∙ (5² - 1) = 5⁶ ∙ 24 = 5⁵ ∙ 5 ∙ 8 ∙ 3 = 5⁵ ∙ 3 ∙ 40 — кратне 40;

3) 6⁶ - 18³ = 6⁶ - 6³ ∙ 3³ = 6³ ∙ (6⁶ - 3³) = 6³ ∙ (216 - 27) = 6³ ∙ 189 = 6² ∙ 6 ∙ 7 ∙ 27 = 6² ∙ 42 ∙ 27 — кратне 42;

4) 5 ∙ 2⁹⁶² - 3 ∙ 2⁹⁶¹ + 2⁹⁶⁰ = 2⁹⁶⁰ ∙ (5 ∙ 2² - 3 ∙ 2 + 1) = 2⁹⁶⁰ ∙ (20 - 6 + 1) = 2⁹⁶⁰ ∙ 15 = 2⁹⁵³ ∙ 2² ∙ 15 = 2⁹⁵⁸ ∙ 60 — кратне 60.

ділиться націло на 11;

ділиться націло на 37, бо 111 ділиться націло на 37;

ділиться націло на 7, бо 10 101 ділиться наділо на 7;

ділиться націло на 9 і на 101, бо 909 ділиться націло на 9 і на 101.

Рівняння має безліч коренів, коли 4 + а = 0, тобто а = -4.

Рівняння не має коренів, коли тобто a = 2/3.

Рівність виконується, коли b - d = 0, тобто b = d, або c - a = 0, тобто c = a, бо c(b - d) - a(b - d) = 0; (b - d)(c - a) = 0. Добуток дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю.

b - d = 0 або с - а = 0; b = d або с = а.

3х + 27 = 0 або 9х - 27 = 0; 3x = -27 або 9х = 27; х = -9 або х = 3.

2х - 24 = 0 або 6х + 10 = 0; 2х = 24 або 6х = -10; х = 12 або,

ділиться націло на 7;

ділиться націло на 16.

1179.

кратне 6, бо кожен з доданків ділиться націло на 6: -6n³ ділиться на 6; 6 ділиться на 6; 3n(n - 1) ділиться на 6, бо n і (n - 1) — сусідні числа, одне з них парне, ділиться на 2, тому 3n(n - 1) ділиться на 6.

кратне 4.

1) Якщо а = 3, то рівняння набуває вигляд 0х = 0 і має безліч коренів.

2) Якщо а = -5, то рівняння не має коренів.

3) Якщо а ≠ 3 і а ≠ -5 то рівняння має 1 корінь.

Отже, значення даного виразу більше за число 2 на 3.

не ділиться наділо на 5, бо 10n ділиться на 5, але 4 на 5 не ділиться.

Отже, значення виразу не ділиться націло на 5.

ділиться націло на 3 при будь-якому значенні n. Такого n не існує, щоб значення виразу не ділилося на 3.

1189. 1) x² — 8x + 18 =0 ; х² — 8x + 16 + 2 = 0; (х - 4)² + 2 = 0; (х - 4)² = -2. Рівняння не має коренів.

2) х² + х + 1 = 0; х² + 2 ∙ х ∙ 0,5 + 0,5² - 0,5² + 1 = 0; (х + 0,5)² + 0,75 = 0; (х + 0,5)² = -0,75. Рівняння не має коренів.

10 - 3 = 7. Значення виразу менше від числа 10 на 7.

ділиться націло на 60.

1194. 654³ - 554³ = (654 - 554) ∙ (654² + 654 ∙ 554 + 554²) = 100 ∙ (654² + 654 ∙ 554 + 554²) — ділиться наділо на 100 і на 2, бо 654² + 654 ∙ 554 + 554² — парне, ділиться на 2. Тому значення виразу ділиться на 200.

не можна розкласти на множники;

ділиться націло на 18.

17⁹ — число непарне, 7²⁴ — число непарне, тому 17⁹ + 7²⁴ — число парне, ділиться на 2.

Тому 18 ∙ (17⁹ + 7²⁴) ділиться націло на 36.

1200. x³ - x = х(х² - 1) = х(х - 1)(х + 1) = (x - 1) ∙ x ∙ (x + 1).

х - 1; х; х + 1 — три натуральних послідовних числа, одне з них ділиться на 2, одне ділиться на 3, тому (х - 1) ∙ х ∙ (х + 1) ділиться на 6.

Отже, значення даного виразу дорівнює квадрату деякого натурального числа.

1205. Нехай 3х + 1 — число, яке не кратне 3. Тоді (3х + 1)² - 1 = 9х² + 6х + 1 - 1 = 9х² + 6х = 3(3х² + 2х) — кратне 3.

1206. Число, яке не кратне 5, може бути задане формулою n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + 4.

кратне 5;

кратне 5;

кратне 5;

кратне 5.

1207. 1) n = 36, n³ + 2n = (36)² + 2 ∙ 3k = 27k³ + 6k = 3(9k³ + 2k) — ділиться на 3, якщо n ділиться на 3.

Якщо n не ділиться на 3, то n = 3k + 1 або n = 3n + 2.

ділиться на 3.

ділиться на 3.

Отже, n³ + 2n ділиться на 3 при будь-якому натуральному n.

1210. Значення функції менше відповідного значення аргументу на 2. у = х - 2.

1211.

1212. у = 6х - 5.

1) х = у; х = 6х - 5; -5х = -5; х= 1; (1; 1);

2) х + у = 30; у = 30 - х; 30 - х = 6х - 5; -7х = -35; х = 5; (5; 25).

1213. 1) у = ах - 8; М(3; -2); - 2 = 3 ∙ а - 8; 3а = 6; а = 2.

При а = 2 графік функції у = ах - 8 проходить через точку М(3; -2).

2) -2 = 1 - а; а = 3.

При а = 3 — графік функції проходить через точку М(3; -2).

1214. 1) f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3) = x² - 1 - x² + 3х = 3x - 1 — лінійна функція;

2) f(x) = (2x - 3)²- (x + 4)(x - 2) = 4x² -12x + 9 — x² + 2x - 4x + 8 = 3х²- 14x + 17 — не є лінійною функцією;

3) f(x) = (х + 3)², - х(х + 6) = х² + 6х + 9 — х² - 6х = 9 — лінійна функція.

у = 3х - 1

Відповідь: y = -37/7.

1216.

y = 2x + 3

1) у = 5 при х = 1; 2) у > 5 при х > 1; 3) y < 5 при х < 1; 4) -3 < y < 7 при -3 < х < 2.

1217. y = 12х- 6.

1. Точка перетину з віссю Ох: 12х - 6 = 0; 12х = 6; х = 0,5; (0,5; 0).

Точка перетину з віссю Оу: (0; -6).

2.

(5; 54) — точка перетину графіків.

1218. 1) у = |х| - 3

2) у = |х - 3|

1219. 1) 6х + 5у = 7; 6а - 5а = 7; а = 7. (7; -7) — розв’язок рівняння;

2) 8х - 2у = 4; 8а + 2а = 4; 10а = 4; а = 0,4; (0,4; -0,4) — розв’язок рівняння;

3) х² - 3у = 0; а² + 3а = 0; а(а + 3) = 0; а = 0; а = -3; (0; 0), (-3; 3) — розв’язки рівняння;

4) х + |у| = -2; а + |-а| = -2; розв’язків нема.

1220. у + 1,5х = с; А(-2; 1); 1 + 1,5 ∙ (-2) = с; c = -2. Тоді у + 1,5x = -2, або y = -1,5х - 2.

(1; 1) — розв’язок системи рівнянь;

(-3; 5) — розв’язок системи рівнянь.

х + у набуває найменшого значення при a = 2. Значення х + у = 0.

Найменшого значення вираз (a + 1)² набуває при а = -1, значення х - у = 0.

1225. Нехай у 7 класі х учнів, а екскурсія коштує у грн.

Тоді

Відповідь: у класі 32 учня.

1226. Нехай х м/с — швидкість першого тіла, у м/с — швидкість другого тіла.

Тоді

Відповідь: 15 м/с; 10 м/с.

1227. Нехай х % міді містить другий злиток.

Тоді 0,4 ∙ 105 + х ∙ 75 = 0,5 ∙ (105 + 75).

42 + 75х = 90; 75х = 90 - 42; 75х = 48; х = 0,64.

0,64 = 64 % вміст міді у другому злитку.

1228. Нехай 4 %-го розчину х г, 10 % -го розчину у г.

Тоді

Відповідь: 120 г і 60 г.

1229. Нехай молока взяли х л, вершків у л.

Тоді

Відповідь: молока 8 л, вершків 2 л.

1230. Нехай х га і у га — площі першого і другого полів. Тоді 40х + 35у = 2600. Наступного року урожайність 1 поля 40 + 0,1 ∙ 40 = 44 ц з 1 га, другого поля 35 + 0,2 ∙ 35 = 42 ц з 1 га і зібрано 2600 + 400 = 3000 ц. Тоді 44х + 42у = 3000.

Маємо систему рівнянь:

Відповідь: 30 га, 40 га.

1231. Нехай х га, у га — площі 1 і 2 полів відповідно.

Тоді

Відповідь: 20 га, 25 га.

1232. Нехай маса всіх цукерок х кг, тоді половину цукерок 1/2х кг розфасували по 0,5 кг і таких мішечків отримали 1/2х : 0,5, решту 1/2х кг розфасували по 0,3 кг і таких мішечків отримали 1/2x : 0,3 мішечків.

Тоді — важили всі цукерки.

1233. Нехай — дане число.

Тоді

Відповідь: шукане число 29.

1234. Нехай — дане число.

Тоді

Відповідь; шукане число 91.

1235. х і у — шукані числа.

Тоді

Відповідь; 30 га, 40 га.

1236.