Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 3. Функції

п. 23. Лінійна функція, її графік і властивості

849. Лінійною функцією є:

850. Прямою пропорційністю є функції:

851. y = 6x — 5

852. 1) y = -2x + 5

Якщо x = -4, то у = -2 ∙ (-4) + 5 = 13.

Якщо x = 3,5, то у = -2 ∙ 3,5 + 5 = -2.

Якщо x = 0, то у = -2 ∙ 0 + 5 = 5.

2). y = 9; -2х + 5 = 9; -2x = 9 - 5; -2x = 4; х = 4 : (-2); х = -2;

у = -5; -2х + 5 = -5; -2x = -5 - 5; -2х = -10; x = -10 : (-2); x = 5;

y = 0; -2х + 5 = 0; -2х = -5; х = -5 : (-2); x = 2,5.

853. y = 0,3х - 2

1) Якщо х = 5, то у = 0,3 ∙ 5 - 2 = -0,5.

Якщо x = -2, то у = 0,3 ∙ (-2) - 2 = -2,6.

Якщо х = 0, то у = 0,3 ∙ 0 - 2 = -2.

2) у = 1; 0,3x - 2 = 1; 0,3x = 3; x = 10;

y = -11; 0,3x - 2 = -11; 0,3x = -11 + 2; 0,3x = -9; x = -30;

у = 0,8; 0,3x - 2 = 0,8; 0,3x = 0,8 + 2; 0,3x = 2,8; x = 9∙1/3.

854. 1) y = x — 5

2) y = 3x + 1

3) y = -1/6x - 2

4) y = 0,4x + 3

855. Розв’язання. Складемо таблицю значень даної функції для двох довільних значень аргументу:

1) y = 4 — х

2) у = -4x + 5

3) у = 0,2x — 3

856. 1) y = 1/3x

2) x = 3у

857. 1) y = 1,2x

2) х = у : 1,2

858. 1) у = 3x

2) у = -2х

3) у = -0,6x

4) y = 1/7x

859. 1) y = 5x

2) у = 0,8х

3) у = -1/6х

860. 1)

2) y = 1/2x.

3)

861.

862. у = 2х - 3

1) якщо х = 4, то у = 5; якщо х = -1, то у = -5; якщо х = 0,5, то у = -2;

2) у = 1 при х = 2; у = -1 при х = 1; у = 0 при х = 1,5;

3) функція набуває додатних значень при х > 1,5.

863. у = 2 - 4х

1) якщо х = 1, то у = -2; якщо х = 0, то у = 2; якщо х = -2, то у = 10;

2) у = -4 при х = 1,5; у = -2 при x = 1; y = 2 при х = 0;

3) функція набуває від’ємних значень при х > 0,5.

864. y = 0,5x

1) якщо х = 4, то у = 2; якщо х = -6, то у = -3; якщо х = 3, то у = 1,5;

2) у = 2,5 при х = 5; y = -2 при х = -4; у = 1 при х = 2;

3) функція набуває від’ємних значень при х < 0.

865. y = - 4х

1) якщо х = 2, то у = -8; якщо х = -1, то у = 4; якщо х = 0,5, то у = -2;

2) y = —4 при х = 1; у = 2 при х = -0,5;

3) функція набуває додатних значені, при х < 0.

866. y = 1,8х - 3

Через А(-2; -6,6) графік проходить, бо -6,6 = 1,8 ∙ (-2) - 3 — правильна рівність;

Через В(1; 1,2) графік не проходить, бо 1,2 = 1,8 ∙ 1 - 3 — неправильна рівність;

Через С(0; -3) графік проходить, бо -3 = 1,8 ∙ 0 - 3 — правильна рівність;

Через D(5; 7); графік не проходить, бо 7 = 1,8 ∙ 5 - 3 — неправильна рівність.

867. y = 8х - 14

1) А(-1; -6) не належить графіку даної функції, бо -6 = 8 ∙ (-1) - 14 — неправильна рівність;

2) В(2; 2) належить графіку даної функції, бо 2 = 8 ∙ 2 - 14 — правильна рівність;

868. у = х - 1

y = 1/4x + 2

А(4; 3) — точка перетину графіків даних функцій.

869. у = 5x - 6

у = -2x + 1

А(1; -1) — точка перетину графіків даних функцій.

870. 1) y = 2,5x + 10

Точка перетину з віссю x: 2,5x + 10 = 0; 2,5x = -10; x = -10 : 2,5; x = -4; (-4; 0).

Точка перетину з віссю у: (0; 10).

2) у = 6x - 4

Точка перетину з віссю x: 6x - 4 = 0; 6x = 4; x = 4 : 6; x = 2/3; (2/3; 0).

Точка перетину з віссю у: (0; -4).

871. 1)

x = 0: у = -4; (0; -4) — точка перетину графіка функції з віссю у;

(6; 0) — точка перетину графіка функції з віссю x.

2) у = 7 — 3x

x = 0: у = 7; (0; 7) — точка перетину графіка функції з віссю у;

- точка перетину графіка функції з віссю х.

872. у = 2х - 9

1) x = у; 2x - 9 = x; 2x - x = 9; x = 9; (9; 9).

2) у = х + 6; 2x - 9 = x + 6; 2x - x = 6 + 9; x = 15; y = 15 + 6 = 21; (15; 21).

873. у = -7x + 8

у = -x; -x = -7x + 8; -x + 7x = 8; 6x = 8; x = 4/3; y = -4/3; (4/3; -4/3), або

874. 1) y = 3,7x +10 і у = 1,4x - 13;

3,7x + 10 = 1,4x - 13; 3,7x - 1,4x = -13 - 10;

2,3x = -23; x = -23 : 2,3; x = -10; у = 3,7 ∙ (-10) + 10 = -37 + 10 = -27.

(-10; -27) — точка перетину графіків даних функцій.

(-14; 8) — точка перетину графіків даних функцій.

875. у = 4x - 7 і у = -2х + 11;

4x - 7 = -2x + 11; 4x + 2x = 11 + 7; 6x = 18; x= 18 : 6; x = 3;

у = 4 ∙ 3 - 7 = 5; (3; 5) — точка перетину графіків даних функцій.

876. f(x) = 4x - 3 і g(x) = 3x — 2; 4x - 3 = 3x - 2; 4x — 3x = -2 + 3; x = 1.

f(x) = 4 ∙ 1 — 3 = 1. При x = 1 функції набувають різних значень.

f(x) = 4x — 3

g(x) = 3x — 2

1) f(x) > g(x) при x > 1; 2) f(x) < g(x) при x < 1.

877. f(x) = 5 - 2х і g(x) = 2x - 3

5 - 2х = 2х - 3; -2х - 2х = -3 - 5; -4х = -8; х = -8 : (-4); х = 2.

При х = 2 функції набувають рівних значень.

f(x) = 5 - 2х

g(x) = 2x - 3

1) f(x) < g(x) при х > 2;

2) f(x) > g(x) при х < 2.

878. y = kx. M(2; -5),

Отже, функція задається формулою у = -2,5х.

879. А(-27; 4) — лежить на графіку.

Отже,

Отже,

883. у = kx + b. y = -6, тоді при x = 0 у = -6. Звідси b = -6.

y = kx - b, у = -6 при будь-яких x.

Тоді kx - 6 = -6; kx = 0; ft = 0.

Отже, і/ = -6, тобто ft = 0, b = -6.

884. Якщо графік паралельний осі абсцис, то всі точки графіка мають однакову ординату. Оскільки т. А(-2; 3) лежить на графіку, то всі точки мають ординату 3. Тоді b = 3. у = kx + 3; оскільки у = 3, то kx + 3 = 0; k = 0.

Отже, у = 0х + 3, або у = 3. k = 0; b = 3.

885. Розв’язання.

1) 36 а) — процес витікання;

36 б) — процес наповнення бака водою.

2) а) 50 л; б). 10 л;

3) а) 40 л; б) 15 л;

4) а) через 4 хв; б) через 8 хв.;

5) наливається щохвилини 2,5 л води, виливається щохвилини 5 л води;

6) у = 50 - 5х; у = 10 + 2,5х.

(2; -2) — точка перетину графіків.

у = kх; -2 = k ∙ 2; k = -1; у = -х

890. 1,5х - 3 = 2,5х + 1. -х = 4; х = -4; у = 1,5 ∙ (-4) - 3 = -9.

(-4; -9) — точка перетину графіків.

у = 5х + b проходить через точку (-4; -9).

5 ∙ (-4) + b = -9; b = -9 + 20; b = 11; у = 5х + 11; b = 11.

891.

у = 8-х

точка С відповідає випадку, коли С — середина АВ.

892. Р = 12, тоді АВ + AD = 6. у = 6 - х. Точка А відповідає випадку, коли ABCD — квадрат, тобто х = у.

893. Побудуємо графіки функцій:

1)

2)

3)

4)

894. 1)

2) рис.

895. 1) y = |х|.

Якщо х ≥ 0, то у = х; якщо х < 0, то у = -х.

2) у = |х| + x.

Якщо х ≥ 0, то у = 2х; якщо х < 0, то у = 0.

3) у = 4x - |х| + 2.

Якщо х ≥ 0, то у = 3х + 2; якщо х < 0, то у = 5х + 2.

896. 1) у = -|х|. Якщо х ≥ 0, то у = -х; якщо х < 0, то у = х.

3) у = 3x + 2|x|.

Якщо х ≥ 0, то у = 5х; якщо х < 0, то y = х.

897. 1) Пряма a: у = х + 3.

2) Пряма b: у = -0,5х - 1.

898. 1) Пряма m: у = -2/3х.

2) Пряма n: у = 2,5х - 5.

899. f(х) = х - [х].

900. 1) Якщо а = -1,5, то

902. Нехай х, х + 1, х + 2 — шукані числа. Тоді

x³ + (x + 1)³+ (x + 2)³ = x³ + x³ + 3x² + 3x + 1 + x³ + 6x² + 12x + 8 = 3x³ + 9x² + 15x + 9 = 3 ∙ (x³ + 3x² + 5x + 3); ділиться наділо на 3, бо 3 ділиться на 3.

903. Нехай у І і у II бочках було по х л води. Тоді у І бочці після збільшення стало 1,1x л води, після зменшення стало 1,1x - 0,1 ∙ 1,1х = 1,1х - 0,11х = 0,99х л води. У II бочці після зменшення стало 0,9x л води, після збільшення стало 0,9x + 0,1 ∙ 0,9x = 0,99x л води. 0,99x = 0,99x. Отже, в обох бочках води стало порівну.

904. х⁴ + х²у² + у⁴ = x⁴ + 2х²у² + у⁴ - х²у² = (x² + у²)² - (ху)² = а² - b².

905. |x| ≥ x при будь-якому значенні x, тоді |x| - x ≥ 0.

2х - x² - 2 = -х² + 2х - 1 - 1 = -(x² — 2x + 1) — 1 = -(x - 1)² - 1.

-(x - 1)² - 1 < 0 при будь-якому значення x, тоді |x| - x > -(x - 1)² - 1 при будь-якому значенні x, бо будь-яке додатне число більше будь-якого від’ємного.

906. 1) Якщо x = -4, у = 0,6, то 0,1x + 5y = 0,1 ∙ (-4) + 5 ∙ 0,6 = -0,4 + 3 = 2,6.

2) Якщо x = 6, у = -2, то х² — 3y + 7 = 6² - 3 ∙ (-2) + 7 = 36 + 6 + 7 = 49.

3) Якщо x = -10, у = 2, то |x| + |у - 6| = |-10| + |2 - 6|= 10 + 4 = 14.

4) Якщо x = -4, у = 1,5, то (2у - 3)² - (x + 4)² = (2y - 3 - x - 4)(2у - 3 + x + 4) = (2у - х - 7)(2у + x + 1) = (2 ∙ 1,5 + 4 - 7)(2 ∙ 1,5 - 4 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

907. 1) x = -3; у — довільне число;

2) у = 2; х — довільне число;

3) x = 0; у — довільне число.

Цій умові відповідають усі точки, які лежать на осі у.