Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 11. Множення многочлена на многочлен

0x = -1: рівняння коренів не має.

коренем рівняння є будь-яке число.

Отже, значення виразу не залежить від змінної.

404. (х - 3)(х² + 7) - (х - 2)(х² - х + 5) = х³ - 3х² + 7х - 21 - (х³ - х² + 5х - 2х² + 2х - 10) = х³ - 3х² + 7х - 21 - х³ + х² - 5х + 2х² - 2х + 10 = -11. Отже, значення виразу дорівнює -11 при будь-яких значеннях х.

405. Нехай х; х + 1; х + 6; х + 8 — шукані числа.

Тоді х² + 8х = х² + 6х + х + 6; 8х - 7х = 6; х = 6.

6; 7; 12; 14 — шукані числа.

406. Нехай х; х + 4; х + 10 — шукані числа.

Тоді х² + 10х = х² + 4х + 4x + 16; 10x — 8x = 16; 2х = 16; x = 8.

8; 12; 18 — шукані числа.

407. Нехай х; х + 1; х + 2; х + 3 — послідовні натуральні числа, тоді (х + 1) ∙ (х + 3) - 17 = х(х + 2); х² + х + 3х + 3 - 17 = х² + 2х; х² - х² + 4х - 2х = 14; 2х = 14; x = 7.

7; 8; 9; 10 — шукані числа.

408. Нехай х; х + 1; х + 2 — шукані числа. Тоді (х + 1)(х + 2) - 50 = х²; х² + х + 2х + 2 - х² = 50; 3х = 50 - 2; 3х = 48; х = 48 : 3; х = 16.

16; 17; 18 — шукані числа.

409. Нехай сторона квадрата х см, тоді сторони прямокутника (х + 3) см і (х - 5) см. Тоді площа квадрата х², а площа прямокутника (х + 3)(х - 5). За умовою х² - (х + 3)(х - 5) = 45; х² - х² - 3х + 5х + 15 = 45; 2х = 45 - 15; 2х = 30; х = 30 : 2; х = 15 см — сторона квадрата.

410. Нехай х см — одна сторона прямокутника, тоді (30 - х) см — друга сторона прямокутника. Якщо одну сторону зменшити на 5 см, то вона буде рівна (х - 5) см, а якщо другу збільшити на 3см, то вона буде рівна (30 - х + 3) = (33 - х) см. Площа зменшиться на 21 см², тому х ∙ (30 - х) - (х - 5)(33 - х) = 21; 30х - х² - (33х - 165 - х² + 5х) = 21; 30х - х² - 33х + 165 + х² - 5х = 21; -8х = -165 + 21; -8х = -144; х = -144 : (-8); х = 18 (см) — одна сторона прямокутника.

30 - 18 = 12 см — друга сторона прямокутника.

411. Нехай ширина прямокутника x см, тоді довжина його (x + 2) см, а площа х(х + 2) см². Якщо довжину збільшити на 2 см, а ширину зменшити на 4 см, то виміри будуть рівні (х - 4) см і (х +4) см, а площа прямокутника (x - 4) ∙ (x + 4) см².

За умовою x(x + 2) - (x + 4)(x - 4) = 40; x² + 2x - (x² + 4x - 4x - 16) = 40; x² + 2x - x² + 16 = 40; 2x = 40 - 16; 2x = 24; x = 12 см — ширина прямокутника.

12 + 2 = 14 см — довжина прямокутника.

412. 1) x² - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) — тотожність; x² - 8x + 7 = x² - x - 7x + 7; x² - 8x + 7 = x² — 8x + 7 — правильна рівність;

2) у²(y - 7)(y + 2) = y⁴ — 5y³ — 14y² — тотожність; у²(у² — 7y + 2y - 14) = y⁴ — 5y³ — 14y²; у⁴ - 5у³ — 14y² = y⁴ — 5y³ — 14y² — правильна рівність;

3) а³ - 8 = (а - 2)(а² + 2а + 4) — тотожність; а³ - 8 = а³ + 2а² + 4а - 2а² - 4а - 8; а³ - 8 = а³ - 8 — правильна рівність;

4) (а - 1)(а + 1)(а² + 1) = а⁴ - 1 — тотожність; (а² - а + а - 1)(а² + 1) = а⁴ -1; (а² -1) ∙ (а² + 1) = а⁴ - 1; а⁴ - а² + а² - 1 = а⁴ - 1; а⁴ - 1 = а⁴ - 1 — правильна рівність;

5) (а⁴ - а² + 1)(а⁴ + а² + 1) = а⁸ + а⁴ + 1 — тотожність; a⁸ — а⁵ + а⁴ + а⁶ - а⁴ + а² + а⁴ - а² + 1 = а⁸ + а⁴ + 1; а⁸ + а⁴ + 1 = а⁸ + а⁴ + 1 — правильна рівність.

413. 1) 3a² + 10a + 3 = 3(a + 3)(a + 1/3) — тотожність;

3а² + 10а + 3 = (3а + 9)(а + 1/3); 3а² + 10а + 3 = 3а² + 9а + а + 3; 3а²+ 10а + 3 = 3а² + 10а + 3 — правильна рівність при будь-яких значеннях а;

2) (а + 1)(а² + 5а + 6) = (а² + 3а + 2) ∙ (а + 3) — тотожність;

а³ + а² + 5а² + 5а + 6а + 6 = а³ + 3а² + 2а + 3а² + 9а + 6; а³ + 6а² + 11а + 6 = а³ + 6а² + 11а + 6 — правильна рівність при будь-яких значеннях а;

3) (а + 1)(а⁴ - а³ + а² - а + 1) = а⁵ + 1 — тотожність;

а⁵ - а⁴ + а³ - а² + а + а⁴ - а³ + а² - а + 1 = а⁵ + 1; а⁵ + 1 = а⁵ + 1 — правильна рівність при будь-яких значеннях а.

414. (n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5) = n² + 9n + 11n + 99 - n² — 3n — 5n - 15 = 12n + 84 = 12(n + 7) — кратне 12 при будь-яких значеннях n, бо 12 кратне 12.

415. (n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1) = n² + 29n + 3n + 87 - n² — 7n - n - 7 = 24n + 80 = 8(3n + 10) — кратне 8 при всіх значеннях n.

418. Нехай х; х + 1; х + 2; х + 3 — шукані числа.

(х + 1)(х + 2) - х(х + 3) = х² + 2х + х + 2 - х² - 3х = 2. Ця різниця не залежить від вибору числа, вона завжди дорівнює 2.

419. Нехай х; х + 1; х + 2 — шукані числа.

(х + 1)² - х(х + 2) = (х + 1)(х + 1) - х² - 2х = х² + х + х + 1 - х² - 2х = 1. Ця різниця дорівнює 1 і не залежить від вибору числа.

ділиться націло на 10 незалежно від значень а і b.

421. х = 6n + 3; у = 6n + 2; ху = (6n + 3) ∙ (6n + 2) = 36n² + 18n + 12n + 6 = 6(6n² + 5n + 1); ділиться націло на 6.

422. a = 8n + 3; b = 8n + 7; а ∙ b = (8n + 3) ∙ (8n + 7) = 64n² + 24n + 56n + 21 = 64n² + 80n + 21 = 64n² + 80n + 16 + 5 = 8(8n² + 10n + 2) + 5. Отже, остача від ділення ab на 8 дорівнює 5.

423. m = 11а = 9; n = 11b + 5; m ∙ n = (11а + 9)(11b + 5) = 121аb + 99b + 55а + 45 = 121аb + 99b + 55а + 44 + 1 = 11(11аb + 9b + 5а + 4) + 1. Отже, при діленні mn на 11 остача дорівнює 1.

425. Нехай І робітник за 1 год виготовляє х деталей, тоді II виготовляє (26 - х) деталей. І робітник за 5 год виготовить 5х деталей, а II за 3 год виготовить 3(26 - х) деталей. Разом вони виготовили 108 деталей.

Отже, 5х + 3(26 - х) = 108; 5х + 78 - 3х = 108; 2х = 108 - 78; 2х = 30; х = 30 : 2; x = 15 деталей виготовляє за 1 годину І робітник.

26 - 15 = 11 деталей виготовляє за 1 годину II робітник.

426. 1) 0,05 ∙ 72 = 3,6 г солі у І розчині;

2) 0,15 ∙ 48 = 7,2 г солі у II розчині;

3) 3,6 + 7,2 = 10,8 г солі у розчині;

4) 72 + 48 = 120 г маса розчину;

5) вміст солі у розчині.

428. 1) 18¹⁶ⁿ = 12⁸ⁿ ∙ 9¹²ⁿ — тотожність;

правильна рівність;

2) 75⁸ⁿ = 225⁴ⁿ ∙ 625²ⁿ — тотожність; 75⁸ⁿ = 25⁴ⁿ ∙ 9⁴ⁿ ∙ 25⁴ⁿ; 75⁸ⁿ = 25⁸ⁿ ∙ 3⁸ⁿ; 75⁸ⁿ = 75⁸ⁿ — правильна рівність.

429. Нехай Демохар прожив х років, тоді 1/4х — життя хлопчиком; 1/5х — життя юнаком; 1/3х — життя зрілою людиною. ^а

Тоді

х = 60 років прожив Демохар.

431. 1) x(x + 4) = 0; x = 0 або x + 4 = 0; х = -4;

2) (х - 6)(х + 9) = 0; х - 6 = 0, х = 6 або х + 9 = 0, х = -9;

3) (3х + 5)(10 - 0,4х) = 0;

3х + 5 = 0; 3х = -5; х = -5/3; або 10 - 0,4х = 0; -0,4х = -10; х = -10 : (-0,4); х = 25.