Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 6. Перпендикулярні прямі

188. 1) На мал. 115 а і b перпендикулярні, а ⊥ b.

2) На мал. 116 m і n не перпендикулярні.

189. 1) Відрізок AB — перпендикулярний до прямої а на мал. 117 і мал. 118.

2) Відрізок AB є перпендикуляром до прямої а на мал. 117.

3) Довжина відрізка AB є відстанню від т. А до прямої а на мал. 117.

190. Ні, перпендикуляр до прямої — це відрізок (згідно означення перпендикуляра).

191.

192.

193.

194.

195. Мал. 120: 90° - 41° = 49°. Мал. 121: 90° - 60° = 30°.

196.

Кут між прямими CD і ОТ дорівнює куту COT. ∠COT = 90° - ∠BOT = 90° - α.

1) Якщо α = 30°, то ∠СOT = 90° - 30° = 60°.

2) Якщо α = 53°, то ∠COT = 90° - 53° = 37°.

3) Якщо α = 44°, то ∠COT = 90° - 44° = 46°.

4) Якщо α = 79°, то ∠СОT = 90° - 79° = 11°.

Відповідь: 1) 60°; 2) 37°; 3) 46°; 4) 11°.

197.

198. 1) PA = 6; 2) BA = 8.

200. 1) NA ⊥ DE, MB ⊥ FC.

2) NO ⊥ OE, NO ⊥ OF, OE ⊥ OM, OF ⊥ OM.

3) NA ⊥ OE, MB ⊥ EF, FC ⊥ MN.

201.

1) Оскільки то α + β = 60° + 30° = 90°. Отже, b ⊥ с.

2) Оскільки β = 90° - 50° = 40°, то α + β = 50° + 40° = 90°. Отже, b ⊥ с.

3) Оскільки α = 5β i α - β = 60°, тo 5β - β = 60°, 4β = 60°, β = 15°, α = 5 x 15° = 75°, α + β = 75° + 15° = 90°. Отже, b ⊥ с.

202.

Прямі AB і АС не можуть бути перпендикулярними до прямої а. Припустимо, що AB ⊥ а і АС ⊥ а, то із точки А проведемо дві прямі AB і АС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, припущення неправильне і прямі AB і АС не можуть бути перпендикулярними до прямої а.

203. 1)

ОР = PT, KP = 2 см, ОТ =7 см.

ОК = ОР - КР.

ОК = 3,5 см - 2 см = 1,5 см.

ТК = TP + РК = 3,5 см + 2 см = 5,5 см.

2)

ОР = РТ, КР = 2 см, ОТ = 7 см,

ОК = КР + ОР = 2 + 3,5 = 5,5 (см),

ТК = РТ - КР = 3,5 - 2 = 1,5 (см).

Відповідь: 1) 1,5 см і 5,5 см; 2) 5,5 см і 1,5 см.

204. І випадок.

1) ОМ = 6 см, ON = 9 см. MN = ОМ + ON = 6 + 9 = 15 (см)

2) K — середина відрізка MN.

OK = KM - ОМ = 7,5 - 6 = 1,5 (см).

Відповідь: 1) 15 см; 2) 1,5 см.

II випадок.

1) ОМ = 6 см, ON = 9 см, MN = ON - ОМ = 9 - 6 = 3 (см).

2) K — середина відрізка MN.

OK = OM + KM = 6 + 1,5 = 7,5 (см).

Відповідь: 1) 3 см; 2) 7,5 см.

205.

AA₁ = АА₂; ВВ₁ = ВВ₂; СС₁ = СС₂. Для кожної точки А, В, C, які лежать на бісектрисі, відстані до сторін кута рівні.

206.

Оскільки ∠AOC = ∠BOD за умовою, ОК — бісектриса кута COD, ∠COK = ∠DOK.

I випадок.

Отже, ОК ⊥ АВ.

II випадок.

Отже, OK ⊥ AB.

207. Можливі два випадки розташування прямих с і d відносно прямої а.

У другому випадку кут ∠1 = 180° - 60° - 30° = 90°. Отже, прямі c i d можуть бути перпендикулярними.

208. Нехай BL — бісектриса кута ABC, ВМ — бісектриса кута CBD. ∠ABC = 2∠LBC, ∠CDB = 2∠CBM. Оскільки за умовою задачі BL ⊥ ВМ, то ∠LBC + ∠CBM = 90°.

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 2∠LBC + 2∠CBM = 2(∠LBC + ∠CBM) = 2 x 90° = 180°. Оскільки ∠ABD — розгорнутий, то точки А, В, D лежать на одній прямій.

209. а) α — гострий кут;

б) α — прямий кут;

в) α — тупий кут;

210.

Оскільки через точку А можна провести тільки одну пряму С, перпендикулярну до прямої а, то принаймні дві з трьох даних прямих не перпендикулярні до прямої а (або всі три не перпендикулярні до прямої а, або одна перпендикулярна, а дві інші не перпендикулярні до прямої а).