Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 4. Суміжні кути

113. 1) Кути CBD i ABD — суміжні;

2) кути LMN і EFK — не є суміжними.

114. На мал. 73 кути AOD і ВОС не є суміжними, бо не мають спільної сторони. На мал. 74 кути ТКО і LKO не є суміжними, бо їх сторони не є доповняльними променями.

115.

∠BOC і ∠AOC — суміжні. ∠BOC = 70°, ∠AOC = 110°.

116. 1)

∠BOC = 45°, ∠AOC = 135°.

2)

∠BOC = 90°, ∠AOC = 90°.

117. 1) ∠ABO = 180° - ∠CBO = 180° - 41° = 139°.

2) ∠OTK =180° - ∠STO = 180° - 105° = 75°.

118.

1)

2)

3)

4)

119. 1) 180° - 137° = 43°; 2) 180° - 54° = 126°; 3) 180° - 162° = 18°; 4) 180° - 23° = 157°.

120.

121. 1) Оскільки α + α + 20° = 180°, то 2α = 160°, α = 160° : 2 = 80°. Отже, ∠XOY = 80°, ∠YOZ = 80° + 20°= 100°.

2) Оскільки β + β - 78° = 180°, то 2β = 258°, β = 129°. Отже, ∠OAK = 129°, ∠KAT = 129° - 78° = 51°.

122. 1) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює х + 30°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + х + 30 = 180; 2х + 30 = 180; 2х = 150; х = 75. Отже, гострий кут дорівнює 75°, а тупий кут дорівнює 180° - 75° = 105°.

2) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює х° + 56°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + х + 56° = 180°; 2х = 180° - 56°; 2х = 124°; х = 62°. Отже, гострий кут дорівнює 62°, а тупий кут дорівнює 180° - 62°= 118°.

3) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює х° + 42°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + х + 42° = 180°; 2х + 42° = 180°; 2х = 138°; х = 69°. Отже, гострий кут дорівнює 69°, а тупий кут дорівнює 180° - 69° = 111°.

Відповідь: 1) 75° і 105°; 2) 62° і 118°; 3) 69° і 111°.

123. 1) Оскільки α + 3α = 180°, то 4α = 180°, α = 45°. Отже, ∠KAB = 45°, ∠OAK = 45° х 3 = 135°.

2) Оскільки β + β/2 = 180°, тo 2β + β = 360°, 3β = 360°, β = 120°. Отже, ∠AYX = 120°, ∠XYB = 120° : 2 = 60°.

124. 1) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює 4x. 3а теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, гострий кут дорівнює 36°, а тупий кут дорівнює 180° - 36° = 144°.

2) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює 2х°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°. Отже, гострий кут дорівнює 60°, а тупий кут дорівнює 180° - 60° = 120°.

3) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді тупий кут дорівнює 8х°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + 8х = 180°; 9х = 180°; х = 20°. Отже, гострий кут дорівнює 20°, тоді тупий кут дорівнює: 180° - 20° = 160°.

Відповідь: 1) 36° і 144°; 2) 60° і 120°; 3) 20° і 160°.

125. 1) Обидва суміжні кути не можуть бути гострими, оскільки їх сума менша 180°, що суперечить теоремі про суму суміжних кутів.

2) Обидва суміжні кути можуть бути прямими, оскільки їх сума дорівнює 180°.

3) Обидва суміжні кути не можуть бути тупими, оскільки їх сума більша 180°, що суперечить теоремі про суму суміжних кутів.

126.

Якщо сума двох кутів дорівнює 180°, то вони необов’язково будуть суміжними.

127.

Нехай ∠COB — гострий, тоді ∠COB < 90°, тобто ∠COB = 90° - α. Згідно з теоремою про суму суміжних кутів маємо: ∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 90° + α = 90° + α, тобто ∠AOC > 90°. Отже,∠AOC — тупий.

128.

Нехай ∠AOC — тупий, тоді ∠AOC > 90°, тобто ∠AOC = 90° + α. Згідно з теоремою про суму суміжних кутів маємо: ∠COB = 180° - ∠AOC = 180° - 90° - α = 90° - α, тобто ∠COB < 90°. Отже, ∠COB— гострий.

129.

Нехай ∠AOC і ∠BOC — суміжні, ∠AOC = ∠BOC. Згідно з теоремою про суму суміжних кутів маємо: ∠AOC + ∠BOC = 180°. Оскільки ∠AOC = ∠BOC, то ∠AOC + ∠AOC = 180°; 2∠AOC = 180°; ∠AOC = 180° : 2 = 90°. Отже, ∠AOC = ∠BOC = 90°.

130. 1)

2)

3)

131. 1) Нехай гострий кут дорівнює x°, тоді тупий кут, суміжний з гострим, дорівнює (x + 30)°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + x + 30° = 180°; 2х + 30° = 180°; 2х = 150°; х = 75°. Отже, шукані кути: 75° і 180° - 75° = 105°.

2) Нехай x° — гострий кут, тоді х + 105° — тупий кут, суміжний з гострим. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + x + 105° = 180°; 2х = 75°; х = 75°: 2 = 37°30'. Отже, шукані кути: 37°30', 180° - 37°30' = 142°30'.

3) Нехай x° — гострий кут, тоді (х + 67)° — суміжний з ним тупий кут. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + х + 67° = 180°; 2х = 113°; х = 56°30'. Отже, шукані кути: 56°30' і 180° - 56°30' = 123°30'.

4) Оскільки суміжні кути рівні, то величина кожного з них дорівнює 90°.

Відповідь: 1) 75° і 105°; 2) 37°30' і 142°30'; 3) 56°30' і 123°30'; 4) 90° і 90°.

132. 1) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює 9x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + 9x = 180°; 10x = 180°; x = 18°. Отже, шукані кути: 18° і 18° х 9 = 162°.

2) Нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює 11x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 11x = 180°; 12x = 180°; x = 15°. Отже, шукані кути: 15° і 180° - 15° = 165°.

3) Оскільки суміжні кути рівні, то кожен з них дорівнює 180° : 2 = 90°.

4) Нехай гострий кут дорівнює *°, тоді суміжний з ним тупий кут дорівнює 17x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 17x = 180°; 18x = 180°; x = 10°. Отже, шукані кути: 10° і 180° - 10° = 170°.

Відповідь: 1) 18° і 162°; 2) 15° і 165°; 3) 90° і 90°; 4) 10° і 170°.

133. 1) Нехай суміжні кути дорівнюють x° і 9x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 9x = 180°; 10x = 180°; x = 18°. Отже, шукані кути: 18° і 180° - 18° = 162°.

2) Нехай суміжні кути дорівнюють x° і 11x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 11x = 180°; 12x = 180°; x = 15°. Отже, шукані кути: 15° і 180° - 15° = 165°.

3) Оскільки суміжні кути рівні, то кожний з них дорівнює 180° : 2 = 90°.

4) Нехай суміжні кути дорівнюють x° і 17x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 17x = 180°; 18x = 180°; x = 10°. Отже, шукані кути: 10° і 180° - 10° = 170°.

134. Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий дорівнює 1/3x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 1/3x = 180°; 3x + x = 540°; 4x = 540°; x = 135°. Отже, шукані кути: 135° і 180° - 135° = 45°.

2) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 3/2х. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 3/2x = 180°; 2x + 3x = 360°; 5x = 360°; x = 72°. Отже, шукані кути 72° і 180° - 72° =108°.

3) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 4/5x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: 2 + 4/5x = 180°; 5x + 4x = 900°; 9x = 900°; x = 100°. Отже, кути дорівнюють: 100° і 180° - 100° = 80°.

4) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 7/8x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: х + 7/8х = 180°; 8х + 7х = 14400°; 15x = 1440°; x = 96°. Отже, шукані кути: 96° і 180° - 96° = 84°.

Відповідь: 1) 135° і 45°; 2) 72° і 108°; 3) 100° і 80°; 4) 96° і 84°.

135. 1) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 0,2x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 0,2x = 180°; 1,2x = 180°; х = 150°. Отже, шукані кути: 150° і 180° - 150° = 30°.

2) Нехай один із суміжних кутів дорівнює х°, тоді другий — 0,6x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 0,6x = 180°; 1,6x = 180°; x = 112,5°. Отже, шукані кути: 112°30' і 180° - 112°30' = 67°30'.

Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 0,8x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 0,8x = 180°; 1,8x = 180°; x= 100°. Отже, шукані кути: 100° і 180° - 100° = 80°.

4) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді другий — 0,25x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: x + 0,25x = 180°; 1,25x = 180°; x = 144°. Отже, шукані кути: 144° і 180° - 144° = 36°.

Відповідь: 1) 150° і 30°; 2) 112°30' і 67°30'; 3) 100° і 80°; 4) 144° і 36°.

136. ∠ACD і ∠BCD, ∠ACL і ∠BCL — суміжні кути.

137.

Нехай ∠BOC = ∠MLN = α. Тоді ∠AOC = 180° - α, ∠KLN = 180° - α. Отже ∠AOC = ∠KLN, тобто, якщо кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.

138.

Нехай ∠AOC і ∠COB — суміжні, ОМ — бісектриса кута СОВ.

∠CON = 1/2∠COB, ∠MOC = 1/2∠AOC.

Тоді ∠MON = ∠MOC + ∠CON = 1/2∠AOC + 1/2∠COB = 1/2(∠AОС + ∠COB) = 1/2 ∙ 180° = 90°.

Отже, бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут.

139.

Нехай ∠AOC і ∠COB — суміжні; ∠BOD = ∠COD = α. Тоді ∠BOC = 2∠COD = 2α; ∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 2α.

1) Якщо α = 15°, то ∠BOC = 2 x 15° = 30°, ∠AOC = 180° - 30° = 150°.

2) Якщо α = 75°, TO ∠BOC = 2 х 75° = 150°, ∠AOC = 180° - 150° = 30°.

3) Якщо α = 60°, то ∠BOC = 2 x 60° = 120°, ∠AOC = 180° - 120° = 60°.

4) Якщо α = 45°, то ∠BOC = 2 x 45° = 90°, ∠AOC = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 1) 30° і 150°; 2) 150° і 30°; 3) 120° і 60°; 4) 90° і 90°.

140.

141. 1) Оскільки α/β < 1, то α < β.

Отже, α — гострий кут.

2) Оскільки α/β > 1, то α > β.

Отже, β — гострий кут.

3) Оскільки β/α < 1, то β < α.

Отже, β — гострий кут.

4) Оскільки β/α > 1, тo β > α.

Отже, α — гострий кут.

142. 1)Якщо 20° ≤ β ≤ 30°, то найбільше значення а дорівнює 180° - 20° = 160°, а найменше значення а дорівнює 180° - 30° = 150°. Отже, 150° ≤ α ≤ 160°.

2) Якщо 120° ≤ β ≤ 130°, то найбільше значення а дорівнює 180° - 120° = 60°, а найменше значення а дорівнює 180° - 130° = 50°. Отже, 50° ≤ α ≤ 60°.

3) Якщо 38° ≤ β ≤ 45°, то найбільше значення а дорівнює 180° - 38° = 142°, а найменше значення а дорівнює 180° - 45° = 135°. Отже, 135° ≤ α ≤ 142°.

4) Якщо 175° ≤ β ≤ 179°, то найбільше значення а дорівнює 180° - 175° = 5°, a найменше значення а дорівнює 180° - 179° = 1°. Отже, 1° ≤ α ≤ 5°.

143. Нехай α і β суміжні кути. Знайдемо різницю між сумою α + β цих кутів та їх різницею α - β: α + β - (α - β) = α + β - α + β = 2β. Отже, різниця між сумою і різницею цих кутів дорівнює подвоєному одному куту.

1) Якщо різниця дорівнює 20°, то один дорівнює 20° : 2 = 10°, а другий 180° - 10° = 170°.

2) Якщо різниця дорівнює 105°, то один дорівнює 105° : 2 = 52°30', а другий 180° - 52°30' = 127°30'.

3) Якщо різниця дорівнює 49°, то один дорівнює 49°: 2 = 24°30', а другий 180° - 24°30' = 155°30'.

4) Якщо різниця дорівнює 123°, то один дорівнює 123° : 2 = 61°30', а другий 180° - 61°30’ = 118°30'.

Відповідь: 1) 10° і 170°; 2) 52°30' і 127°30'; 3) 24°30' і 155°30'; 4) 61°30' і 118°30'.

144. Нехай α і β суміжні кути, тоді різниця цих кутів дорівнює α - β, а сума α + β = 180°. Отже,

1) Оскільки то α - β = 120, α = β + 120. Тоді за теоремою про суму суміжних кутів маємо: β + β + 120 = 180; 2β = 60; β = 30. Тоді a = 180 - 30 = 150. Отже, шукані кути: 30° і 150°.

2) Оскільки то α - β = 135, α = 135 + β. Тоді за теоремою про суму суміжних кутів маємо: β + β + 135 = 180; 2β = 45; β = 22°30'. Отже, шукані кути: 22°30' і 180° - 22°30' = 157°30'.

3) Оскільки то α - β = 144, α = β + 144. Тоді за теоремою про суму суміжних кутів маємо: β + β + 144 = 180; 2β = 36; β = 36 : 2 = 18. Тоді α = 180 — 18 = 162. Отже, шукані кути: 18° і 162°.

4) Оскільки то α - β = 150, α = β + 150. Тоді за теоремою про суму суміжних кутів маємо: β + β + 150 = 180; 2β = 30; β = 15. Тоді α = 180 - 30 = 150. Отже, шукані кути: 15° і 180° - 15° = 165°.

Відповідь: 1) 30° і 150°; 2) 22°30' і 157°37’; 3) 18° і 162°; 4) 15° і 165°.

145. 1) Нехай α і β шукані кути, тоді за умовою α - (α - β) = 30, a6o β - (α - β) = 30. Якщо α - (α - β) = 30, тоді α - α + β = 30, β = 30. Отже, шукані кути: 30° і 180° - 30° = 150°.

Якщо β - (α - β) = 30, тоді β - α + β = 30, 2β - α = 30, α = 2β - 30. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: β + 2β + 30 = 180; 3β - 30 = 180; 3β = 210; β = 70. Отже, шукані кути дорівнюють 70° і 180° - 70° = 110°.

2) Оскільки середнє арифметичне двох суміжних кутів дорівнює 90°, то один з кутів дорівнює 90° + 30° = 120°, а другий — 180° - 120° = 60°.

3) Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то 25 % суми цих кутів дорівнює Тоді один з кутів дорівнює 45° + 30° = 75°, другий — 180° - 75° = 105°.

4) Нехай α і β суміжні кути. Тоді за умовою задачі або

1) Якщо тоді 2α - 3α + 3β = 60; 3β - α = 60; α = 3β - 60. За теоремою про суму суміжних кутів маємо; β + 3β - 60 = 180; 4β = 240; β = 60. Отже, шукані кути дорівнюють: 60° і 180° - 60° = 120°.

Якщо тоді 2β - 3α + 3р = 60; 5β - 3α = 60; 5β = 3α + 60; За теоремою про суму суміжних кутів маємо: 5α + 3α + 60 = 900; 8α = 840; α = 105. Отже, шукані кути дорівнюють: 105° і 180° — 105° = 75°.

Відповідь: 1) 30° і 150° або 70° і 110°; 2) 120° і 60°; 3) 75° і 105°; 4) 60° і 120° або 105° і 75°.

146.

Нехай ∠AOB — даний кут, тоді суміжними з ним будуть кути ВОС і AOD. Оскільки ∠AOB + ∠BOC = 180° і ∠AOB + ∠AOD = 180°, то ∠BOC = 180° - ∠AOB, ∠AOD = 180° - ∠AOB. ∠BOC + ∠AOD = 180° - ∠AOB + 180° - ∠AOB = 360° - 2∠AOB. Звідси 2∠AOB = 360° - (∠BOC + ∠AOD),

1) Оскільки ∠BOC + ∠AOD = 80°, то

2) Оскільки ∠BOC + ∠AOD = 220°, то

3) Оскільки ∠BOC + ∠AOD = 120°, то

4) Оскільки ∠BOC + ∠AOD = 300°, то

Відповідь: 1) 140°; 2) 70°; 3) 120°; 4) 30°.

147.

∠AOB і ∠BOC — суміжні кути, ON — бісектриса кута ВОС, ∠BOM = ∠MON, ∠MON = 90°. ∠AOM = 180° - (∠MON + ∠NOC) = 180° - (90° + ∠NOC) = 180° - 90° - ∠NOC = 90° - ∠NOC.

∠MOB = ∠MON - ∠BON, ∠MOB = 90° - ∠NOC. Отже, ∠AOM = ∠MOB = 90° - ∠NOC, отже ОМ — бісектриса кута АОВ.

148.

Твердження неправильне. На мал. ∠KLM і ∠NLM мають спільну вершину L, спільну сторону LN, їх сума дорівнює 180°, але ці кути не суміжні.

149.

Твердження невірне. На мал. ∠KLM = 20°, ∠MLN = 50°, ∠NLP = 60°. Бісектриси ∠Q і ∠R утворюють прямий кут, проте ці кути не суміжні.

Застосуйте на практиці

150. Якщо побудована сторона прямого кута не відхиляється від ребра косинця, то утворені суміжні кути рівні, отже, кожен із них дорівнює 90°, отже, косинець правильний.

151. Щоб визначити азимут, більший за 180°, треба до 180° додати азимут протилежного напрямку. Наприклад, азимут напрямку ОК дорівнює 180°, додати азимут напрямку OL, тобто азимут напрямку ОК дорівнює 180° + 45° = 225°. Азимути напрямків:

1) Київ — Чернігів — 22°;

2) Київ — Полтава — 105°;

3) Київ — Сімферополь — 156°;

4) Київ — Одеса — 180°;

5) Київ — Вінниця — 230°;

6) Київ — Житомир — 266°;

7) Київ — Тернопіль — 255°;

8) Київ — Луцьк — 278°.