Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 2. Відрізки та їх вимірювання

28. 1) Кінці відрізка MN: М і N; внутрішні точки: А, О, В. 2) Кінці відрізка AN: A i N; внутрішні точки: О i B. 3) Кінці відрізка AB: А і В; внутрішня точка: О.

29.

Утворилося три відрізки: AB, АС, ВС.

30.

KL = 3,5 см; MN = 4 см; KL < MN.

31. 1)

AB = 3,5 см = 35 мм; CD = 42 мм; AB < CD.

2)

AB = 50 мм; CD = 0,5 дм = 50 мм; АВ = CD.

32.

OP = AB; OF = BC; OM = AC.

33.

Утворилися відрізки: AE, CE, DE, BE, FE, AC, AD, AB, AF, CD, CB, CF, DB, DF, BF.

34. 1) АС = 3 см, BD = 20 мм = 2 см, KL = 0,3 дм = 3 см. AC = KL > BD.

2) AC = 0,01 дм = 0,1 см, BD = 10 см, KL = 1 мм = 0,1 см. AC = KL < BD.

3) AC = 4,2 мм = 0,42 см, BD = 0,42 дм = 4,2 см, KL = 0,42 см. AC = KL < BD.

35. PO = PT + TQ = 0,3 дм + 30 мм = 3 см + 3 см = 6 CM.

36.

AB > АС, оскільки відрізок АС є частиною відрізка AB.

37.

1) KN = MN - MK = a - b = 6 cм - 4,5 cм = 1,5 см.

2) KN = а - b = 0,3 дм - 20 мм = 3 см - 2 см = 1 см.

3) KN = а - b = 40 мм - 1,5 см = 4 см - 1,5 см = 2,5 см.

38.

АС = АВ + ВС = 5,5 см + 45 мм = 5,5 см + 4,5 см = 10 см.

AB = АС - ВС = 6,7 см - 2,4 см = 4,3 см.

ВС = АС - AB = 2,2 дм - 16 см = 22 см - 16 см = 6 см.

39. 1) Якщо точка С між точками А і В, то AB = АС + СВ. Але 5 см ≠ 11 см + 6 см. Отже, точка С не лежить між точками А і В. 2) Якщо точка С лежить між точками А і В, то AB = АС + СВ. Оскільки 12 CM = 3,5 CM + 8,5 см, то точка С лежить між точками А i B.

40. 1) Якщо точка В лежить на відрізку АС, To AC = AB + BC. Але 10cм ≠ AB + 14 см. Отже, точка В не лежить на відрізку АС. 2) Якщо точка В лежить на відрізку АС, то АС = AB + BC. Оскільки 11 см = 4 см + 7 см, то точка В лежить на відрізку АС.

41. 1) Якщо точки А, В, С лежать на одній прямій, то найбільший із відрізків АС, AB, ВС дорівнює сумі двох інших. Оскільки за умовою найбільший із заданих відрізків AB = 17 см, а сума двох інших АС + ВС = 6,5 см + 10,5 см = 17 см, то точки А, В, С лежать на одній прямій. 2) Якщо точки А, В, С лежать на одній прямій, то найбільший з відрізків АС, AB, ВС дорівнює сумі двох інших. Оскільки за умовою найбільший відрізок дорівнює 1,5 дм, а сума двох інших АС + ВС = 0,6 дм + 1 дм =1,6 дм. 1,5 дм ≠ 1,6 дм, то точки А, В, С не лежать на одній прямій.

42. 1)

На промені ВА від його початку можна відкласти тільки один відрізок даної довжини.

2) На доповняльних променях BA i ВС від їх спільного початку можна відкласти два відрізки даної довжини (один на промені ВА і один на промені ВС).

43.

44.

Якщо AB = 8 см, то

OB = АВ - АО = 8 см - 2 см = 6 см.

Відповідь: АО = 2 см; OB = 6 см.

45.

1) Точка Z) лежить на відрізках: AE, AD, BE, СЕ, BD, CD, ED.

2) Точка С не лежить на відрізках AB і DE.

46.

Існує шість відрізків з кінцями в точках А, В, С, D: AB, AC, AD, ВС, CD, BD.

47.

Нехай ВС = х см, тоді АС = 3х см. За властивістю вимірювання відрізків маємо: AB = АС + ВС, х + 3х = 8; 4х = 8; х = 2. Отже, ВС = 2 см, АС = 3 x 2 = 6 (см).

Відповідь: 2 см і 6 см.

48. AB = CD за умови, що ВС = BD.

49. 1) Оскільки ВС = 2 дм = 20 см, a AB + АС= 16 см + 4 см = 20 см, тобто виконується умова ВС = AB + АС, то точка А лежить між точками В і С.

2) Оскільки AB + ВС =АС, то точка В лежить між точками А і С.

3) Оскільки ВА + АС = ВС, то точка А лежить між точками В і С.

4) Оскільки BA = BC - AC, то BC = BA + AC. Отже, точка А лежить між точками В і С.

50. Оскільки AM + MB = AB, то точка М лежить між точками А і В. Оскільки AM = MB, то точка М — середина відрізка AB.

51. 1)

АС = AB + ВС = 6 см + 5 см = 11 см.

2)

АС = АВ - ВС = 6 см - 5 см = 1 см.

52. а)

МК = MN + NK =14 + 16 = 30 (см);

б)

МК = NK - MN = 16 - 14 = 2 (см).

Відповідь: 30 см або 2 см.

53. 1)

ВС = АС - ВА = 40 мм - 30 мм = 10 мм.

2) AN = NC = АС : 2 = 40 мм : 2 = 20 мм;

АК = КВ =АВ : 2 = 30 мм : 2 = 15 мм;

KN = AN - АК = 20 мм - 15 мм = 5 мм.

Відповідь: 1) 10 мм; 2) 5 мм.

54.

Нехай AB = 18 см, АС, ВС — частини відрізка AB, N — середина відрізка АС, М — середина відрізка ВС.

NC = 1/2АС, СМ = 1/2ВС, тоді

Відповідь: 9 см.

55.

Точка К — середина відрізка AB,

КВ = і AB = і - 2 см = 1 см.

Точка М — середина відрізка CD,

KM = KB + ВС + CM = 1 см + 3 см + 2 см = 6 см.

Відповідь: 6 CM.

56.

Утворилося п’ять відрізків, що мають не більше ніж одну спільну точку.

57. Оскільки точки А, В, С лежать на одній прямій і точки В, С, D лежать на одній прямій, то ці прямі мають спільні точки В і С. Згідно з властивістю прямої, ці прямі збігаються. Отже, точки А, В, С і D лежать на одній прямій.

58. Нехай відрізок AB лежить на прямій а, а відрізок CD лежить на прямій b. Оскільки відрізки AB і CD мають дві спільні точки, то і прямі а і b мають також дві спільні точки. Тоді, згідно з властивістю прямої, прямі а і b збігаються. Отже, відрізки AB і CD лежать на одній прямій.

59. а)

Утворилося 3 відрізки: AB, АС, ВС;

б)

Утворилося 6 відрізків: АС, AD, AB, CD, CB, DB;

в)

Утворилося 10 відрізків: АС, AD, AF, AB, CD, CF, CB, DF, DB, FB.

2) Якщо на відрізку вказано n точок, то всього утвориться (n + 1) + n + (n - 1) + ... + 2 + 1 відрізків або відрізків.

60. а)

BD = BC + CD = BC + AB = АС = 5 см;

б)

BD = CD — ВС = АВ — BC = AC = 5 см.

Відповідь: 5 см.

61.

1) DB = AB — AD = AB - (AC - CD) = AB - AC + CD = 6 - 10 + 5 = 1 (см).

2) AD = AC - CD = 10 - 5 = 5 (см).

Відповідь: 1) 1 см; 2) 5 см.

62.

Точка М — середина відрізка АС, тоді MC = 1/2АС. N — середина відрізка СВ, тоді CN = 1/2СВ.

Відповідь: m/2.

63.

M — середина відрізка АС, тоді АС = 2MC. N — середина відрізка СВ, тоді CB = 2CN.

AB = АС + СВ = 2MC + 2CN = 2(MC + CN) = 2 x MN = 2 x n = 2n.

Відповідь: 2n.

64.

AM + NB = AB - MN = 16 - 14 = 2 (см).

CD = MN — MC - DN = MN - (MC + DN) = MN - (AM + NB) = 14 - 2 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

65.

За умовою AB = BC, CK = KD, DL = LF, FN = NM, AM = 24 см, BN = 20 см.

AB + NM = AM - BN = 24 - 20 = 4 (см).

BC + FN = 4 см.

Відповідь: 8 см.

66. 1) Розглянемо три випадки:

a)

Шукана точка лежить ліворуч від т. А, тоді 2АХ = ХВ, або 2АХ = АХ +АВ. Враховуючи, що АВ = 9 см, маємо: 2АХ — АХ = 9, АХ = 9 см;

б)

Якщо шукана точка лежить між точками А і В, тоді 2АХ = ХВ, 2АХ = AB - АХ, 3АХ = АВ, 3АХ = 9, АХ = 3 см;

в)

Якщо точка X лежить праворуч точки В, то такий випадок неможливий, бо АХ = АВ + ВХ, тобто АХ > ВХ, а за умовою АХ < ВХ.

2) Розглянемо три випадки:

а)

Випадок (шукана точка X розташована ліворуч точки А) неможливий, бо АХ + ВХ = АХ + АХ + АВ = 2АХ + АВ = 2АХ + 8, тобто АХ + ВХ > 8 см;

б)

Нехай точка X лежить між точками А і B, тоді АХ + ВХ = АВ = 8. Отже, будь-яка внутрішня точка відрізка AB буде шуканою.

в)

Випадок (шукана точка X розташована праворуч точки В) неможливий, бо АХ + ВХ = AB + ВХ + ВХ = AB + 2 ВХ = 8 + 2 ВХ, тобто АХ + ВХ > 8 см.

3) Розглянемо три випадки:

а)

Випадок (шукана точка X знаходиться праворуч від точки А) неможливий, бо ХА - ХВ = ХА + AB - ХА = AB, але за умовою ХВ - ХА = 2 см, а AB = 14 см.

б)

Нехай точка X розташована між точками А і В. Якщо ХВ - ХА = 2 см, тоді АВ — ХА — ХА = 2,14 - 2ХА = 2; 2ХА = 14 - 2; 2ХА = 12; ХА = 6 см.

Якщо ХА — ХВ = 2 см, тоді ХА - (АВ - ХА) = 2,2ХА - АВ = 2; 2ХА - 14 = 2; 2ХА = 16; ХА = 8 см.

в)

Випадок (шукана точка X знаходиться праворуч точки В) неможливий, бо ХА - ХВ = AB + ХВ - ХВ = AB, але за умовою ХВ - ХА = 2 см, а AB = 14 см.

67. Відстань від Києва до Сум дорівнює 480 км - 140 км = 340 км.

69. 1) Людина перебуває на відстані менше 5 км і більше 4 км від будинку;

2) Людина перебуває на відстані менше 4 км і більше 3 км від будинку.