Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

325.

∆ABC; AB = AC; ∆A₁B₁C₁; A₁B₁ = A₁C₁; ∠B = ∠B₁; BK = B₁K₁. ∠AKB = ∠CKB = ∠A₁K₁B₁ = ∠C₁K₁B₁ = 90°. ∆АВK = ∆A₁B₁K₁.

1) BK = В₁K₁; 2) ∠1 = ∠2; 3) ∠3 = ∠4, отже, AB =A₁B₁.

∆АВС = ∆А₁В₁С₁. AB = A₁B₁; BC = В₁С₁; ∠B = ∠B₁.

326.

AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁; AF = A₁F₁.

1) ∆ACF = ∆A₁C₁F₁; AF = A₁F₁; AC = A₁C₁; ∠FAC = ∠F₁A₁C₁. З рівності трикутників маємо: ∠C = ∠C₁.

2) ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за другою ознакою рівності трикутників. АС = A₁C₁; ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁.

327.

AC = A₁C₁; AM = MC; A₁M₁ = M₁C₁; ∠BMC = ∠B₁M₁C₁.

∆BMC = ∆B₁M₁C₁ за першою ознакою рівності, MB = MjBj, MC = M₁C₁, ∠M = ∠M₁. Отже, ∠C = ∠C₁, BC = B₁C₁.

∆АВС = ∆A₁B₁C₁; AC = A₁C₁, BC = В₁С₁, ∠C = ∠C₁ за першою ознакою рівності трикутників.

328.

ВМ = В₁М₁; ∠ABM = ∠A₁B₁M₁; ∠MBC = ∠M₁B₁C₁.

Продовжимо медіану ВМ, відкладемо В₂М = ВМ. ∆АВМ = ∆СВ₂М, ∆АМВ₂ = ∆CMВ за двома сторонами і кутом між ними. З рівності трикутників маємо: ∠2 = ∠3, ∠1 = ∠4. ВС = АВ₂, AB = В₂С. ∆АВС = ∆АВ₂С = ∆A₁B₁C₁.

329.

Дано: ZB = ZB₁, BK = В₁K₁, ∠BKC = ∠В₁К₁C₁.

∆BKC = ∆B₁K₁C₁; BK = B₁K₁, ∠KBC = ∠K₁BjC₁, ∠BKC = ∠B₁K₁C₁. З цього маємо: BC = B₁C₁, ∠C = ∠C₁.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за стороною і двома кутами). ВС = B₁C₁, ∠C = ∠C₁, ∠B = ∠B₁.

330.

1) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ за першою ознакою.

2) AB = A₁B₁; ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ за другою ознакою.

331.

∠BAC = ∠B₁AC; АС — спільна основа; ∠BCA = ∠B₁CA або ∠BAC = ∠B₁AC; AB = AB₁; АС — спільна сторона.

332. ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, АС = А₁С₁, BC = B₁C₁, BC = B₁C₁.

333. Кути рівні, тому що трикутники рівні.

334. Правильно.

335. Не завжди правильно.

336.

∆АВС, AB = ВС; ∆ADC, DС = DА.

1) ∆ABD = ∆CBD за третьою ознакою, AB = BC, AD = DC, BD — спільна сторона.

337.

∆АВМ = ∆A₁B₁M₁; ∆ВМС = ∆B₁M₁C₁.

338.

AB = CD; BC = AD; BD—спільна сторона.

∆ABD = ∆CDB за третьою ознакою рівності трикутників.

339.

AB = CB; AD = CD; BD — спільна сторона.

∆ABD = ∆CDB за третьою ознакою рівності трикутників.

340.

∆ABC — рівнобедрений; AC = BC. ∆A₁B₁C₁ — рівнобедрений, А₁С₁ = B₁С₁.

1) АС = А₁С₁; 2) AB = A₁B₁; 3) BC = B₁C₁.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за третьою ознакою рівності трикутників.

341. 1) АB = А₁В₁; 2) ВС = B₁С₁; 3) P_∆ABC = P_∆A1B1C1;

P_∆ABC = AB + BC + AC;

P_∆A1B1C1 = А₁В₁ + B₁C₁ + А₁С₁; AB = A₁B₁; ВС = B₁C₁, отже, і АС = А₁С₁. ∆АBС = ∆A₁B₁C₁ за третьою ознакою рівності трикутників.

342.

∆АBС = ∆CDA. З їх рівності маємо: AB = CD; BС = AD; АС — спільна сторона. Доведемо, що ∆ABD = ∆CDB. 1) AB = CD; 2) BС = AD; 3) BD — спільна сторона.

∆ABD = ∆СDB за третьою ознакою рівності трикутників.

343.

∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС; ∆ADC — рівнобедрений, AD = DC.

∆ADB = ∆CDB; 1) AB = CB; 2) AD = CD;

3) DB — спільна сторона.

Трикутника рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З їх рівності маємо: ∠ADB = ∠CDB.

344.

AB = CD; АС = BD; ∆ABD = ∆DCA за третьою ознакою рівності трикутників.

1) АB = DC; 2) BD = AC; 3) AD - спільна основа.

345.

AB = CD; BF = СЕ; AE = BD; ∆АВF = ∆СDE; 1) AB = CD; 2) BF = СЕ; 3) АF = DЕ. З рівності трикутників маємо: ∠CEF = ∠BFE.

∆EOF — рівнобедрений, бо ∠OEF = ∠OFE.

346.

∆АОВ = ∆DOC; з рівності трикутників: AB = CD, AO = OD, BO = OC. ∆ABC = ∆DCB;

1) AB = CD;

2) ВС — спільна сторона; АС = АО + ОС;

3) BD = BO + OD ⇒ AC = BD.

∆ABC = ∆DCВ за трьома сторонами.

347.

ОС = OD; AO = ВО; ∆АОС = ∆BOD. З їх рівності: АС = BD. ∆ВОС = ∆AOD. З їх рівності: ВС =AD.

∆АОС = ∆BOD; ∆ВОС = ∆AOD за першою ознакою рівності трикутників.

∆ABC = ∆BAD (за третьою ознакою рівності). 1) ВС = DA; АС = BD; AB — спільна сторона.

348.

AE₁ = AE₂; BE₁ = BE₂.

Довести, що ∆СDE₁ = ∆CDE₂.

1) ∆АE₁С = ∆АЕ₂С (за третьою ознакою рівності трикутників). AE₁ = АЕ₂; E₁C = Е₂С; АС — спільна сторона. З їх рівності: ∠E₁CB = ∠E₂CB.

∆СE₁D = ∆CE₂D за двома сторонами і кутом між ними: 1) E₁С = Е₂С; 2) CD — спільна сторона; ∠E₁CD = ∠E₂CD— кути суміжні рівним кутам.

350.

AB = А₁В₁; ВС = В₁С₁; ВМ = В₁М₁. Продовжимо ВМ = В₂М. ∆МВС = ∆MB₂A за трьома сторонами. З рівності трикутників маємо: ∠1 = ∠2. Аналогічно ∠3 = ∠4. ∠B = ∠B₂; ∆ABC = ∆AB₂C за двома сторонами і кутом між ними. ∆ABC = ∆А₁В₁С₁.

351.

∆ABC, АС = ВС, AM = AM₁. ∆А₁В₁С₁, AC₁ = B₁C₁.

∆ACM = ∆A₁C₁M₁; AC = A₁C₁; CM = C₁M₁; AM = A₁M₁.

Трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників маємо: ∠C = ∠C₁;

∆ABC = ∆А₁В₁С₁ за першою ознакою рівності трикутників: АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, ∠C = ∠C₁.

Задачі до підготовки контрольної роботи № 2

1. Периметр рівнобедреного трикутника 105 см, а бічні сторони АС : АВ = 7 : 3.

Нехай х — спільна міра відрізків, тоді AB = 3х см, АС = ВС = 7х см.

Рівняння: 3х + 7x + 7x = 105; 17х = 105;

2.

AO = DO; CO = BO; ∆АОС = ∆DOB за першою ознакою рівності трикутників.

1) CO = BO; 2) AO = ВО; 3) ∠COA = ∠BOD (вертикальні кути).

2) АС = 4 см, СВ = 8 см. Р_∆ABC = АС + АО + ОС = АС + ОС + OD = АС + CD = 4 + 8 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

3.

CO = DO, АС ⊥ а, ВD ⊥ а. ∆АСО = ∆ВDО за другою ознакою рівності трикутників. CO = OD, ∠AOC = ∠DOB, ∠ACO = ∠BDO. З рівності трикутників: АС = ВD.

4.

1) ∆АОВ — рівнобедрений; ОА = OB, АС = BD, ∠OAB = ∠OBA.

2) ∆АОС = ∆BOD (за першою ознакою рівності трикутників), АС = BD, АО = BO, ∠CAO = ∠DBO (рівні кути рівним суміжним кутам).

5.

∆ABC — рівнобедрений, АС = ВС; ∆A₁B₁C₁ — рівнобедрений, А₁С₁ = В₁C₁; AB = A₁B₁ за умовою;

P_∆ABC = (АС + ВС) + AB ⇒ АС + ВС = Р_∆ABC — АВ;

Праві частини рівностей рівні, отже

АС + ВС = A₁C₁ + В₁С₁; АС = ВС; А₁С₁ = B₁C₁; 2АС = 2A₁C₁; AC = A₁C₁; BC = B₁C₁.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за третьою ознакою рівності трикутників.

6.

∆АВС; ВН ⊥ АС; АН = НС.

∆АВН = ∆СВН (за першою ознакою), AH = CH, ВН — спільна сторона; ∠AHB = ∠CHB = 90°, отже, AB = ВС.

∆АВС — рівнобедрений, ВН — бісектриса; AB, СЕ — бісектриси; ∠A = ∠C.

∆ADC = ∆СЕА, АС — спільна сторона ∠A = ∠C, ∠DAC = ∠ECA.

∆АDС = ∆СЕА за другою ознакою рівності трикутників, отже, AB = СЕ = 15 см.

352. а) Ні; б) так; в) ні; г) так.

353. 1) b || c;

2) b || c;

3) b || c;

4) b || c;

354.

а) Внутрішні різносторонні кути: ∠4 i ∠5.

б) Внутрішні односторонні кути: ∠4 і ∠6.

в) Відповідні кути: ∠4 і ∠8.

355.

Чи буде а || b, якщо:

a) ∠3 = ∠6, так; б) ∠5 = ∠8, так; в) ∠1 = ∠7, ні; г) ∠2 = ∠6, так; д) ∠3 + ∠5 = 180°, так; е) ∠2 + ∠4 = 180°, так.

356. a) ∠6 = ∠3, то a || b; б) ∠6 + ∠4 = 180°, то a || b.

357. а) Правильне твердження; б) ні; в) ні.

358. a)

a || b, с — січна; б) ∠1 i ∠2; ∠3 i ∠4 — внутрішні різносторонні кути.

б)

∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 — відповідні кути.

359.

AD || ВС, тому що ∠ABC + ∠DAB = 60 + 120° = 180°.

360.

AB і ВС — прямі; DE — січна; ∠BDE і ∠CED; ∠BED і ∠ADE — внутрішні різносторонні кути. ∠BDE і ∠BED, ∠ADE і ∠CED — внутрішні односторонні.

361. а)

Внутрішні різносторонні кути рівні, a || b.

б)

Сума внутрішніх односторонніх кутів 180°, a || b.

в)

Відповідні кути рівні, a || b.

362.

а) ∠4 = ∠5 = 125°, a || b; внутрішні різносторонні кути рівні.

б) ∠5 = 115°, ∠3 = 65°, а || b; 115° + 65° = 180°. ∠5 і ∠3 - внутрішні односторонні кути.

в) ∠3 = 65°, ∠7 = 65°, ∠3 = ∠7 — відповідні кути, a || b.

363.

∆ABD = ∆CBD. З рівності трикутників ∠ADB = ∠CBD, це внутрішні різносторонні кути при прямих ВС і AD і січній BD, отже, ВС || AD.

364.

∆АОВ = ∆COD. З рівності трикутників маємо: ∠CDO = ∠ABO. Це внутрішні різносторонні кути при прямих DC і AB та січній DB, отже, AB || CD.

365.

Ні, необов’язково.

366. a)

∠2 = ∠1 = 25° — вертикальні кути; ∠1 і ∠3 — відповідні кути рівні, а || b.

б)

∠2 і ∠3 — суміжні кути; ∠3 = 180° - 100° = 80°; ∠3 = ∠1 — внутрішні різносторонні кути рівні, а || b.

в)

∠2 і ∠3 — суміжні кути. ∠2 = 180° - (180° - α) = 180° - 180° + α = α; ∠2 = ∠1 = α — відповідні кути, а || b.

367.

а) ∠5 = 135°; ∠4 = 3∠3;

∠3 + ∠5 = 180°; ∠3 = 180° - 135° = 45°; ∠4 = 45° x 3 = 135°;

∠5 = ∠4 = 135°, де внутрішні різносторонні кути, а || b.

б) ∠2 = 72°; ∠6 : ∠8 = 2 : 3; ∠6 = 2х;

∠8 = 3х; ∠6 + ∠8 = 180° (суміжні кути).

2х + 3х = 180°; 5х = 180°; х = 180° : 5; х = 36°.

∠6 = 2 х 36° = 72°; ∠8 = 3 х 36° = 108°; ∠2 = ∠6 = 72°, це відповідні кути, прямі а і b — паралельні.

368.

AO = OB; DO = ОС; ∠AOD = ∠COD (вертикальні кути). ∆AOD = ∆ВОС за першою ознакою рівності трикутників.

∠A = ∠B — внутрішні різносторонні кути при прямих AD і ВС і січній AB. Отже, AD || ВС; ∠D = ∠C — при прямих АС і BD і січній DC, отже, АС || DB.

AB = ВС; CD = DE; ∠1 = ∠2; ∆АВС — рівнобедрений, кути при основі рівні; ∠3 = ∠4, ∆CED — рівнобедрений, кути при основі рівні; ∠2 = ∠3 (вертикальні кути).

∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4; ∠1 і ∠4 — внутрішні різносторонні кути при прямих AB і DE, січній AE, ∠1 = ∠4, DE || AB.

370.

∆ABC = ∆CDA; ∠A = ∠C, це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і CD та січній АС, AB || CD; ∠CAD = ∠ACB, це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і ВС ті січній АС, отже, ВС || AD.

371.

∆LBK — рівнобедрений, ∠KBL = ∠KLB, ∠LBK = ∠LBA, BL — бісектриса. ∠ABL = ∠KLB — внутрішні різносторонні кути при прямих AB і KL, січна BL. Отже, AB || LK.

372.

АВ = ВС; ∠C = 80°. ∆ADF — рівнобедрений, AD = DF; ∠DAF = ∠DEA.

∆ABC — рівнобедрений, ∠A = ∠C; ∠DAE = 80° - 40°; ∠DEA = ∠DAE = 40°; ∠DEA і ∠DAE — внутрішні різносторонні кути при прямих DE і АС, отже, DE || AC, l || AC.

373. AD = CF; ВС = DE; ∠1 = ∠2.

1) ∠3 = ∠4 (суміжні кути рівним кутам); 2) ВС = DE; 3) АС = DF.

∆АСВ = ∆FDE за двома сторонами і кутом між ними. З цієї рівності маємо: ∠CAB = ∠DFE; це внутрішні різносторонні кути при прямих AD і EF і січній AF. Отже, АВ || EF.

374.

∆АВС = ∆DEF. 1) AB = DE; 2) ВС = EF; 3) AC = DF.

АС = AD + DC; DF = CF + DC, але AD = CF; ∆ABC = ∆DEF за трьома рівними сторонами. З цієї рівності маємо: ∠BCA = ∠EFD. Це відповідні кути при прямих ВС i EF i січній АВ. Отже, EF || ВС.