Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови

§ 26. Задачі на побудову та їх розв’язування

674.

Позначимо на прямій а точку А — початок відрізка AВ. Побудуємо циркулем коло із центром у точці А, радіус якого дорівнює AB. Це коло перетне пряму а у деякій точці D. Очевидно, що АВ =AD. Отже, AD — шуканий відрізок.

675.

Побудова аналогічна завданню 674.

676.

Коло перетне пряму m у двох точках.

677.

678.

1) За допомогою лінійки проведемо довільну пряму р і позначимо на ній довільну точку В. Відкладемо на прямій р відрізок ВС = 8 см.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює 7 см, опишемо дугу із центром у точці С.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює 5 см, опишемо дугу кола із центром у точці В. Точка А — точка перетину дуг, проведених з точок В і С.

4) З’єднаємо точки А, В, С відрізками.

∆ABC — шуканий.

679.

1) Проведемо довільну пряму т. На ній відкладемо відрізок СА = 7 см.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює 4 см, опишемо дугу кола із центром у точці А.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює 6 см, опишемо дугу кола із центром у т. С. Точка В — точка перетину дуг, проведених з точок А і С.

4) З’єднаємо точки А, В, С відрізками.

∆ABC — шуканий.

680.

1) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні АС трикутника АВС, опишемо дугу кола із центром у т. А.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні СВ трикутника ABC, опишемо душу кола із центром у т. В. Точка D — точка перетину дуг.

3) З’єднаємо т. А, D, В.

∆ADB — шуканий.

681. 1) Будуємо відрізок А₁С₁ = АС.

2) Розхилом циркуля, який дорівнює стороні AB ∆ABC, опишемо дугу кола із центром у точці A₁.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні ВС ∆ABC, опишемо дугу кола із центром у точці С₁. Точка В — точка перетину дуг.

4) З’єднаємо точки А₁, В₁, С₁ відрізками. Трикутник А₁В₁С₁ — шуканий.

682.

1) За допомогою лінійки проводимо довільну пряму р і позначимо на ній т. А.

2) За допомогою циркуля відкладемо засічкою на прямій р а відрізок AB = а.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює а, опишемо дуги кола із центром у т. А і т. В. Точка С — точка перетину дуг.

4) З’єднаємо точки А, В і С відрізками.

∆ABC — шуканий.

683.

1) Будуємо а.

2) Розхилом циркуля, який дорівнює Ь, проводимо дуги кіл із центрами у т. А і т. В. Точка С — точка перетину дуг.

3) З’єднаємо т. А, В і С відрізками.

∆ABC — шуканий.

684.

1) Позначимо на сторонах даного кута А точки В іС.

2) Побудуємо ∆LKM, що дорівнює ∆ВАС, так щоб LK = BA, LM = ВС, КМ = АС.

3) ∠LKM = ∠BAC — як відповіді кути рівних трикутників.

4) ∠LKM — шуканий.

685.

1) Позначимо на сторонах даного кута т. В і т. С.

2) Побудуємо ∆ОРR, що дорівнює ∆ABC, так, щоб OP = AB, PR = ВС, OR = AC.

3) ∠POR = ∠BAC — як відповідні кути рівних трикутників.

4) ∠POR — шуканий.

686.

Нехай ∠A = 70°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута А в точках В і С.

2) 3 т. В і С опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо промінь AD.

Промінь AD — шукана бісектриса.

687. Нехай ∠A = 110°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута А в точках В і С.

2) 3 точок В і С опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо промінь AD.

Промінь AD — шукана бісектриса.

688.

Нехай AB — даний відрізок.

1) 3 т. А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка AB опишемо дугу.

2) 3 т. В таким самим радіусом циркуля опишемо дугу до перетину з першою дугою в точках М і N.

3) Через т. М і N проведемо пряму MN, яка перетинає відрізок AB в т. Р.

Р — шукана точка.

689.

Нехай AB — даний відрізок.

1) 3 т. А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка AB опишемо дугу.

2) 3 т. В таким самим радіусом опишемо дугу до перетину з першою дугою в т. М і N.

3) Через т. М і N проведемо пряму MN. Пряма МТ перетинає відрізок AB в т. Р.

Р — середина AB.

690.

Нехай т. М не належить прямій а.

1) 3 т. М довільним радіусом, більшим за відстань від т. М до прямої а, проведемо дугу, яка перетинає пряму а в точках B і С.

2) Із точок В і С тим самим радіусом циркуля опишемо дуги до їхнього перетину в точці N по інший бік від точки М.

3) Проведемо пряму MN.

Пряма MN — шукана пряма.

691.

Нехай Р є m.

1) На даній прямій то довільним радіусом циркуля відкладемо від т. Р два рівних відрізка РМ і PN.

2) Із точок М i N радіусом, що дорівнює MN, опишемо дуги до їхнього перетину. Отримаємо т. К.

3) Проведемо пряму KP.

KP — шукана пряма.

692.

Щоб побудувати прямокутний трикутник за двома катетами, слід побудувати прямий кут і на його сторонах відкласти відрізки, що дорівнюють катетам: АВ = 3 см, АС = 5 см.

∆ABC — шуканий.

693.

1) 3 точки А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка АВ, опишемо дугу.

2) 3 точки В таким самим радіусом проведемо дугу до перетину з першою дугою в точках М і N. Через т. М і N проведемо пряму, яка перетинає AB в точці Р. Р — середина сторони АВ.

Проведемо пряму CP. СР — шукана медіана.

694.

1) 3 точок А і С проводимо кола довільного радіусу, які перетинаються в точках N i F.

2) Знаходимо точку М перетину прямої FN та сторони АВ.

3) СМ — шукана медіана.

4) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром в т. А, яка перетинає сторони кута А в точках E i R.

5) 3 точок E i R опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їхнього перетину. Отримаємо т. Р.

6) АР, а отже, і АК — бісектриса кута А.

695.

Побудова аналогічна завданню 694.

696.

1) Ділимо відрізок АВ навпіл.

2) Ділимо відрізок СВ навпіл.

3) Відрізок AD = 3/4AB.

697.

1) Ділимо відрізок АВ навпіл.

2) Ділимо відрізок CD навпіл.

3) DB = 1/4BA.

698.

1) На прямій а існує дві точки M i N, віддалені від т. А на відстань 4 см.

2) На прямій а існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань більше 4 см, це промені NK і ML без початків.

3) На прямій а існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань меншу ніж 4 см, це відрізок MN без його кінців.

699.

1) Будуємо коло з центром у т. О і з радіусом R.

2) 3 довільної точки В кола будуємо коло радіуса b, яке перетинає побудоване коло в точках А і С.

3) ∆ABC — шуканий.

700.

1) Будуємо кут ∠A = 105°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки AB = 3 см, АС = 5 см.

3) ∆ABC — шуканий.

701.

1) Будуємо кут ∠K = 80°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки KL = 6 см, КМ = 4 см.

3) ∆KLM — шуканий.

702.

1) Побудуємо кут ∠D = 40°.

2) На одній стороні кута відкладаємо відрізок DE = 6 см.

3) Будуємо ∠E = 80°.

4) Точка F — точка перетину сторін кутів D i E.

5) ADEF — шуканий.

703.

1) Будуємо ∠N = 50°.

2) На одній стороні відкладемо відрізок NP = 4 см.

3) Будуємо ∠P = 100°.

4) ∆NPT — шуканий.

704.

1) Будуємо AB = 4 см.

2) Будуємо ∠ВАС = 70°.

3) Будуємо ∠ВАС = 70°.

4) ∆ABC — шуканий.

705.

1) Будуємо відрізок АС = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього трикутника.

2) За допомогою циркуля проведемо дуги з центром у точках А і С, радіусом, який дорівнює АС.

3) Оскільки центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис, будуємо бісектриси кутів А і С. О — точка перетину бісектрис — центр вписаного кола.

706.

∆ABC — довільний трикутник. Оскільки центром описаного кола навколо трикутника є точка перетину серединних перпендикулярів, то побудуємо серединні перпендикуляри до сторін AB і АС.

1) Знайдемо середини відрізків AB і АС. Точки М і К — середини відрізків відповідно AB і АС.

2) Побудуємо перпендикуляри до сторін трикутника АВ і АС, які проходять через точки М і К відповідно, т. О — точка перетину серединних перпендикулярів - центр описаного кола.

707.

1) Будуємо прямокутний трикутник ABD за катетом BD = 6/2 = 3 (см) і AD = 4 см.

2) На промені BD від точки D відкладемо DC = 3 см.

3) ∆АBС — шуканий.

Оскільки AD — висота і медіана трикутника ABC, то трикутник ABC — рівнобедрений.

708.

1) Із точки С відкладемо рівні відрізки АС = а.

2) Із отриманих точок проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

3) Через точку перетину кіл і точку С проводимо пряму СК.

4) Із точки А проводимо коло радіуса с, яке перетне пряму СК в точці В.

5) ∆АВС шуканий, оскільки ВС ⊥ АС, бо ВС — серединний перпендикуляр, АС = а, ВА = с.

709. 1) Із точки С на прямій відкладаємо рівні відрізки СА = а.

2) Із отриманих точок проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

3) Через точку перетину кіл і точку С проводимо пряму КС.

4) Будуємо бісектрису кута С — СК.

5) На прямій СК відкладаємо бісектрису трикутника, яка дорівнює l. Отримаємо т. Р.

6) Через точки A і Р проводимо пряму до перетину з прямою СК, отримаємо точку В.

7) ∆ABC — прямокутний шуканий трикутник, оскільки СК — серединний перпендикуляр.

710.

1) Будуємо ∆ABD за трьома сторонами: AB = a, BD = m_b, AD = b/2.

2) Відкладемо на промені AD відрізок АС = b.

3) Проводимо відрізок ВС.

4) ∆ABC — шуканий.

711. ОА — радіус кола. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, то побудуємо пряму, перпендикулярну до ОА.

1) На прямій О А довільним радіусом циркуля відкладемо від т. А два рівні від, різки AB і АС.

2) Із точок В і С радіусом, який дорівнює ВС, опишемо дуги до їхнього перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо пряму b через т. D і А, яка перпендикулярна до ОА. Отже, b — дотична до кола.

712.

1) Будуємо прямокутний трикутник за катетом b і гіпотенузою, яка дорівнює m_а.

2) Оскільки m_а — гіпотенуза прямокутного ∆ABC, то відкладемо на прямій СК відрізок КВ = СК.

3) ∆АВС — шуканий.

713.

1) Із т. С на прямій відкладемо рівні відрізки СВ = а.

2) Із отриманих точок D і В проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

3) Через точку К і точку С проводимо пряму KС.

4) Розділимо відрізок СВ на дві рівні частини. Т. F — середина відрізка.

5) 3 точки F проведемо кола радіуса т_а до перетину з прямою КС. Отримаємо т. А.

6) З’єднаємо т. А з т. В.

∆ABC — шуканий.

714.

1) Будуємо коло з центром у точці О і з радіусом R.

2) 3 довільної точки В кола будуємо коло з радіусом а.

3) Від променя ВС відкладемо кут СВА = α, сторона якого перетне коло у точці А.

4) ∆АВС — шуканий.

715.

1) Будуємо ∆ADC за двома сторонами AD = l, АС = b і кутом між ними ∠DAC = α/2.

2) Будуємо ∠BAD = α/2, точка В — точка перетину сторони AB кута BAD і продовження сторони DC.

716.

1) Будуємо коло з центром у т. О і радіусом R.

2) 3 довільної точки А будуємо коло з радіусом а, яке перетне побудоване коло в точці В.

3) 3 цієї ж точки А будуємо коло з радіусом 6, яке перетне побудоване коло в точці С.

4) ∆АВС — шуканий.

717.

1) Будуємо відрізок AB = 4 см.

2) Від т. А відкладаємо ∠A = 40°.

3) Знайдемо ∠В. ∠В = 180° - 40° - 105° = 35°.

4) Від т. В відкладаємо кут 35°.

5) ∆ABC — шуканий.

718.

1) За допомогою косинця будуємо прямий кут .А.

2) Довільним радіусом описуємо коло з центром в т. А до перетину сторін кута в точках В і С.

3) 3 точок В і С, як з центрів проводимо дві дуги того ж радіуса до перетину з побудованим колом в точках М і N.

4) ∠BAM = 30°, ∠MAC = 60°.

719.

1) Спочатку будуємо кут NAC, який дорівнює 30° (як в попередньому завданні).

2) Будуємо бісектрису ∠NAC. Проводимо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута NAC в точках Р і R.

3) 3 точок Р і R опишемо дуги у внутрішній області кута таким самим радіусом до їхнього перетину, отримаємо точку К.

4) Проведемо промінь AK. АК — бісектриса. Отже, ∠NAK = ∠KAC = 15°.

720. I.

1) Будуємо прямий кут А за допомогою косинця.

2) Від точки А на стороні кута відкладаємо 5 см, отримаємо AВ = 5 см.

3) За допомогою циркуля будуємо кут А = 60°.

4) За допомогою циркуля будуємо кут В = 45°.

5) ∆ABC — шуканий.

II. Нехай т. В належить прямій а.

1) На дані й прямій а довільним радіусом відкладемо від т. В два рівних відрізка ВМ і BN.

2) Із точок М і N радіусом, що дорівнює MN опишемо дуги до їхнього перетину, отримаємо точку К.

3) Проведемо пряму KB. КВ ⊥ МС.

4) Побудуємо кут, який дорівнює 60°. Для цього поділимо кут КВМ на три рівних кути (див. завдання 718). Отримаємо: ∠ABK = 60°, тоді ∠ABC = 60° + 90° = 150°.

5) Відкладемо на сторонах кута ВА = ВС = 4 см.

6) З’єднаємо точки А і С. Отримаємо ∆АДС - шуканий.

721. I.

1) На прямій а відкладемо КМ = 4 см.

2) 3 точок К і М проведемо прямі перпендикулярні до прямої а.

3) Побудуємо кут, який дорівнює 30° з вершиною в точці К (див. завдання 718).

4) Побудуємо кут, який дорівнює 45° з вершиною в т. М (див. завдання 720.1)).

5) ∆КРМ — шуканий.

II.

1) На прямій m позначимо т. М.

2) Проведемо LM ⊥ m.

3) Побудуємо кут, який дорівнює 30°, тоді ∠KMP = ∠KML + ∠LMP = 30° + 90° = 120°.

4) На сторонах кута КМР відкладемо відрізки КМ = МР = 5 см.

5) ∆КМР — шуканий.

722. Знайдемо кут при основі трикутника.

1) Побудуємо кут, який дорівнює 80° і суміжний з ним кут.

2) Поділимо суміжний кут навпіл, це і буде кут при основі трикутника. Будуємо трикутник за стороною і двома прилеглими кутами. Отже, ∆ABC — шуканий.

723. Побудова аналогічна завданню 722.

724.

Оскільки в рівносторонньому трикутнику медіана є і бісектрисою, то кут при вершині трикутника ділиться на два рівних кути кожен по 30°.

рис. 1) Будуємо медіану AM.

2) 3 т. А відкладаємо кути 30° по різні боки від медіани.

3) Через т. М проводимо пряму с ⊥ АМ.

4) ∆ABC — шуканий.

725.

∠OAC = 30°, ОС ⊥ AB (оскільки AB — дотична, ОС — радіус кола), ОС = 5 см. Оскільки ∆АОС — прямокутний (∠C = 90°) з кутом 30°, то АО = 2ОС = 2 x 5 = 10 см.

Відповідь: 10 см.

726.

Hexaй ∠A = 15°, ∠C : ∠B = 7 : 8. ∠B + ∠C = 180° - 15° = 165°, тоді

Оскільки зовнішній кут при вершині трикутника суміжний з внутрішнім кутом і вони в сумі дорівнюють 180°, то зовнішній кут, тим менше, чим більше внутрішній кут, суміжний з ним.

Найбільший кут трикутника дорівнює 88°, отже, найменший зовнішній кут дорівнює 180° - 88° = 92°.

Відповідь: 92°.

727.

Нехай ∆KLM = ∆K₁L₁M₁, KN, K₁N₁ — бісектриси. Оскільки ∆KLM = ∆K₁L₁M₁, то ∠M = ∠M₁, KM = K₁M₁, ∠NKM = ∠N₁K₁M₁ — як половини рівних кутів. Тоді ∆NKM = ∆N₁K₁M₁ — за стороною і двома прилеглими кутами. Отже, KN = K₁N₁.

728.

∆ABC — прямокутний, ∠A = 30°, AB = 60 CM. CD ⊥ AB.

∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

З прямокутного ∆СDB: ∠DCB = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.

З ∆АВС: CB = 1/2AB = 1/2 ∙ 60 = 30 (CM).

З ∆CDB: DB = 1/2CB = 1/2 ∙ 30 = 15 (см).

AD = AB - DB = 60 - 15 = 45 (см).

Відповідь: 15 см, 45 см.

729.

Відповідь: 40.