Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 15. Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

351. 1) AT — висота трикутника ABC.

2) AN — медіана трикутника ABC.

3) АР — бісектриса трикутника ∆AВС.

352. Оскільки AK — висота, то ∠BKA = ∠CKA = 90°.

353. Оскільки АК — бісектриса, то ∠BAK = ∠CAK = 35°. Отже, ∠BAC = ∠BAK + ∠CAK = 35° + 35° = 70°.

354. Оскільки АК — медіана, то

355.

AL, BN, СК — медіани ∆ABC.

356. PL, CP, AM — бісектриси ∆АВС.

357.

AK, CL, BM — висоти ∆ABC.

358.

AE, BF, CD — висоти ∆ABC.

359. Оскільки висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою, то: ∠CAK = ∠BAK, ∠ACK = ∠ABK, ∠AKC = ∠AKB, AC = AB, CK = KB.

360. Оскільки бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і висотою, то: ∠EDP = ∠EFP, ∠DEP = ∠EFP, ∠EPD = ∠EPF, ED = EF, DP = PF.

362. Якщо у трикутника два кути рівні, то він — рівнобедрений. ∠B = ∠C, отже, ВС — основа трикутника. Бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. Значить, бісектриса проведена до сторони ВС.

364.

Нехай в ∆ABC BD — бісектриса і висота. ∠ABD = ∠CBD, ∠BDA = ∠BDC, BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD. Отже, ∆ABD = ∆CBD за стороною і прилеглими кутами. Оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні, то AB = СВ. Отже, ∆ABC — рівнобедрений.

365.

Нехай в ∆ABC BD — медіана і висота. ∠BDA = ∠BDC = 90°, AD = DC, BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD. Отже, ∆ABD = ∆CBD за двома сторонами і кутом між ними. Оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні, то AB = СВ. Отже, ∆АВС — рівнобедрений.

366.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁, отже, A₁C₁ = АС, ∠B₁C₁A₁ = ∠BCA (як відповідні сторони і кути рівних трикутників). AB — бісектриса ∆ABC, ∠BAD = ∠DAC. A₁D₁ — бісектриса ∆A₁B₁C₁, ∠B₁A₁D₁ = ∠D₁A₁C₁.Отже, ∠DAC = ∠D₁A₁C₁. ∆ADC = ∆А₁D₁С₁ — за стороною і прилеглими кутами.

367.

Нехай в ∆АВС АВ = ВС, BF = FC = 1/2BC, BD = DA = 1/2AВ, отже, AD = FC. ∆ADC = ∆CFА (оскільки АС — спільна, ∠DAC = ∠FCA — як кути при основі рівнобедреного трикутника, AD = FC — як половини рівних сторін AB і ВС). З рівності трикутників маємо: DC = FA.

368.

Нехай в ∆ABC AB = ВС, ∠BAC = ∠BCA, AF і CD — бісектриси, тобто ∠FAC = ∠FAB = 1/2∠BAC, ∠DCA = ∠DCB = 1/2BCA, отже, ∠FAC = ∠DCA, ∆ADC = ∆CFA (оскільки АС — спільна, ∠FAC = ∠DCA,∠DAC = ∠FCA). З рівності трикутників маємо: AB = CD.

369.

Нехай в ∆ABC AB = ВС, BD ⊥ АС, BD = 10 CM, P_∆ABD = 40 CM.

P_∆ABD = AB + AD + BD, AB + AD = P_∆ABD - BD = 40 - 10 = 30 (см). AB = BC — за умовою, AD = DC — оскільки BD є медіаною. AB +AD = ВС + DC, тоді P_∆ABC = AB + AD + ВС + DC = 30 + 30 = 60 (см).

Відповідь: 60 см.

370.

Нехай в ∆ABC СВ = СА, ВК = КА, P_∆ABC = 16 см, P_∆ACK = 12 см.

P_∆ACK = СА + АK + KС, Р_∆ABC = CA + AB + BC = CA + AK + KB + BC = 2(CA + KA) = 16 (см). CA + АК = 8 см, KС = Р_∆ACK - (СА + АK) = 12 - 8 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

371.

Нехай в ∆ABC CN — медіана і бісектриса. Продовжимо медіану CN так, щоб NK = CN. Проведемо відрізки КА і КВ. Розглянемо ∆CNB і ∆KNA. CN = KN (за побудовою), NB = NA (за умовою). ∠ANK= ∠BNK (як вертикальні), отже, ∆CNB = ∆KNA за двома сторонами і кутом між ними.

У рівних трикутників рівні відповідні кути і сторони, тож ∠NCB = ∠NKA, СВ = КА. Аналогічно з рівності трикутників CAN і KBN отримаємо ∠CAN = ∠BKN, АС = ВК.

Розглянемо ∆CAN і ∆КВС. Вони рівнобедрені. АК = СА, СВ = ВК. Отже, отримали АС = СВ = АК = КВ. У ∆ABC дві сторони рівні, він рівнобедрений.

372.

Нехай задані прямі а і b і січна с. Якби а була б паралельна b, TO ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7, a ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 і ∠3 + ∠6 = 180°. Нехай ∠3 = 30°, ∠6 = 140°. ∠3 + ∠6 = 170° ≠ 180°. Отже, сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180°.

Кути ∠6 і ∠7 теж не можуть дорівнювати відповідно 140° і 30°, бо вони суміжні.

373.

Нехай ∆ABC — рівносторонній, Р_∆ABC = 12 см. ∆ACD — рівнобедрений. AD = CD, P_∆ACD = 18 см. AB = BC = АС (як сторони рівностороннього трикутника).

AC = P_∆ABC : 3 = 12 : 3 = 4 (см).

P_∆ACD = АС + AD + CD, AD + CD = P_∆ACD - AC = 18 — 4 = 14 (см). Отже, AD = CD = 7 см.

Відповідь: 7 см.

374.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = BC, Р_∆ABC = 69 см. Позначимо довжину AB = х см, тоді АС = 0,3x см. Складемо рівняння: x + x + 0,3x = 69; 2,3x = 69; x = 30. Отже, AB = BC = 30 см, АС = 30 x 0,3 = 9 (см).

Відповідь: ЗО см, 30 см, 9 см.

375. 125 л = 125 дм³. Олесь придбав акваріум розмірами 15 дм х 5 дм х 5 дм. Якщо Олесь наповнив акваріум, не доливши до краю 6 см, то він залив води 5 x 5 x 4,4 = 110 (дм³) = 110 л.

Відповідь: 110 л.