Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 1. Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості

§ 4. Суміжні та вертикальні кути

Практичні завдання

86. ∠BAC — гострий, ∠OAB — суміжний до кута ВАС.

∠АОВ — прямий, ∠COA — суміжний до кута АОВ.

∠BOC — тупий, ∠AOB — суміжний до кута ВОС.

87. ∠AOC і ∠COB — суміжні.

88. а) ∠ABD i ∠CBD;

б) ∠MKP i ∠PKO; ∠MКЕ і ∠ERO;

в) ∠FCN і ∠NCE; ∠FCM і ∠MCE;

г) ∠ABC і ∠CBD; ∠ADF і ∠FDE.

89. а) Ні; б) так; в) ні.

90. ∠AOC i ∠COB; ∠COB і ∠BOD; ∠BOD і ∠DOA; ∠DOA і ∠AOC — суміжні.

∠AOC і ∠BOD; ∠AOD і ∠BOC — вертикальні.

91. 1) 24°+ 156°= 180°. Можуть.

2) 63° + 107° = 170° ≠ 180°. Не можуть.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

92. 1) 180° - 29° = 151°; 2) 180° - 84° = 9G°; 3) 180° - 98° = 82°; 4) 180° - 135° = 45°.

Відповідь: 1) 151°; 2) 96°; 3) 82°; 4) 45°.

93. 1) Два гострих кута не можуть бути суміжними, бо їх сума менша 180°.

2) Два тупих кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.

3) Прямий і тупий кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.

4) Прямий і гострий кути не можуть бути суміжними, бо їх сума менша 180°.

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

94. Якщо один із суміжних кутів прямий, то суміжний з ним кут теж прямий.

Відповідь: прямий.

95. 1) 180° - ∠ABC= 180° -36° =144°.

2) 180° - ∠ABC = 180° - 102° = 78°.

Відповідь: 1) 144°; 2) 78°.

96. ∠2 = 180° — ∠1 = 180° — 42° = 138° (бо ∠1 і ∠2 — суміжні); ∠3 = ∠1 = 42° (бо ∠1 і ∠3 — вертикальні); ∠4 = ∠2 = 138° (бо ∠4 і ∠2 — вертикальні).

Відповідь: ∠2 = 138°; ∠3 = 42°; ∠4 = 138°.

97. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = х° + 70°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, маємо рівняння: х + 70 + х = 180, звідси 2х + 70 = 180; 2х = 180 - 70; 2х = 110; х = 110 : 2; х = 55, тоді х + 70 = 55 + 70 = 125. Отже, ∠BOC = 55°, ∠AOC = 125°.

Відповідь: 125° і 55°.

2) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 8х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння: 8х + х = 180, звідси 9х = 180; х = 180 : 9; х = 20, тоді 8х = 8 х 20 = 160. Отже, ∠BOC = 20°, ∠AOC = 160°.

Відповідь: 20° і 160°.

3. Нехай ∠BOC = 2х°, тоді ∠AOC = 3х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння, 2х + 3х = 180, звідси 5х = 180; х = 180 : 5; х = 36, тоді 2х = 2 х 36 = 72°, 3х = 3 х 36 = 108. Отже,∠BOC = 72°, ∠AOC = 108°.

б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.

Відповідь: 72° і 108°.

98. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 17х°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння: х + 17х = 180, звідси 18х =180; х =180 : 18; х = 10, тоді 17х = 17 х 10 = 170. Отже, ∠BOC = 10°,∠AOC =170°.

Відповідь: 10° і 170°.

2) Нехай ∠BOC = 19*°, тоді ∠AOC = 26*°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння 19х + 26х = 180, звідси 45х = 180; х = 180 : 45; х = 4, тоді 19х = 19 х 4 = 76, 26х = 26 x 4 = 104. Отже, ∠BOC = 76°, ∠AOC = 104°.

Відповідь: 76° і 104°.

99. 1) Правильне твердження.

2) Неправильне твердження, бо для кожного кута, відмінного від розгорнутого, можна побудувати два суміжних кути.

3) Неправильне, бо якщо кути рівні, то вони не є обов’язково вертикальними.

4) Правильне твердження.

5) Неправильне твердження.

б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.

7) Неправильне твердження, бо вони можуть бути рівними.

8) Неправильне твердження, бо сума кутів АОВ і DCF дорівнює 180°, проте вони не є суміжними.

9) Правильне твердження.

10) Правильне твердження.

11) Правильне твердження.

12) Неправильне твердження, бо ∠AOB = ∠BOC, проте ∠AOB і ∠BOC — не є вертикальними.

13) Неправильне твердження, бо кути АОС і ВОС мають спільну сторону ОС, проте вони не є суміжними.

100. Два кути, утворені при перетині двох прямих, можуть бути або суміжними, або вертикальними. Якщо б вони були суміжними, то їх сума дорівнювала б 180°, але це не так. Тому ці кути є вертикальними.

101. 1) Нехай ∠1 + ∠2 = 106°. Оскільки ∠1 і ∠2 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 106° : 2 = 53°. Оскільки ∠2 і ∠3 - суміжні, то ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 53° = 127°. Оскільки ∠3 i ∠4 — вертикальні, то∠4 = ∠3 = 127°.

Відповідь: 53°, 127°, 53°, 127°.

2) Нехай ∠4 + ∠2 + ∠3 = 305°. Оскільки ∠2 і ∠4 — суміжні, то ∠4 + ∠2 = 180°, тоді ∠3 = 305° - 180° = 125°. Оскільки ∠3 і ∠4 — вертикальні, то ∠4 = ∠3 = 125°. Оскільки ∠2 і ∠4 — суміжні, то ∠2= 180° - 125° = 55°. Оскільки ∠1 і ∠2 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 55°.

Відповідь: 55°, 125°, 55°, 125°.

102. Нехай ∠3 - ∠2 = 64°, Z2 = х°, тоді ∠3 = х° + 64°. Враховуючи, що ∠2 i ∠3 — суміжні, то х + х + 64 = 180. Звідси 2х + 64 = 180; 2х = 116; х = 116 : 2; х = 58, тоді х + 64 = 58 + 64 = 122. Отже ∠2 = 58°, Z3 = 122°. Оскільки ∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 58°, ∠4 = ∠3 = 122°.

Відповідь: 58°, 122°, 58°, 122°.

103. ∠1 і ∠4, ∠3 і ∠5 — вертикальні, тоді ∠4 = ∠1, ∠3 = ∠5.

∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Відповідь: 180°.

104. ∠MOC = 180° - ∠BOM - ∠AOC = 180° - 70° - 15° = 95°.

∠DOK і ∠COM — вертикальні, то ∠DOK = MOC = 95°.

∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 70°+ 95° = 165°.

∠АОD = ∠АОK + ∠КOD = 15° + 95° = 110°.

Відповідь: 95°, 165°, 110°.

105. ∠AOC i ∠BOC — суміжні, OM i ON — бісектриси кутів AOC і BOC відповідно.

Відповідь: 90°.

106. ∠AOC і ∠DOB — вертикальні, ОМ і ON — бісектриси кутів АОС і BOD. ∠MON = ∠1 + ∠AOD + ∠3 = ∠1 + ∠2 + ∠BOC = ∠AOC + ∠BOC = 180°.

Відповідь: 180°.

107. ∠ABF = 80°, ∠ABD = 30°, BM і BN — бісектриси кутів FBC і FBD.

Відповідь: 75°.

108. ∠AOB i ∠BOC — суміжні, BD — бісектриса кута АОВ, ∠BOC — ∠BOD = 18°. Нехай ∠BOD = х°, тоді ∠AOD = х°, ∠BOC = х° + 18°. Враховуючи, що ∠AOD + ∠DOB + ∠BOC = 180°, маємо рівняння: х + х + х + 18 = 180, звідси 3х + 18 = 180; 3х = 180 - 18; 3х = 162; х = 162 : 3; х = 54. Тоді ∠AOB = 2 х 54° = 108°, ∠BOC = 54° + 18° = 72°.

Відповідь: 72° і 108°.

109. Кути МКЕ і РКЕ — суміжні. KF — бісектриса кута МКЕ, ∠FKE - ∠PKE = 24°. Нехай ∠PKE = х°, тоді ∠MKF = ∠FKE = х° + 24°. Враховуючи, що ∠MKF + ∠FKE + ∠EKP = 180°, маємо рівняння: х + 24 + х + 24 + х = 180, звідси 3х + 48 = 180; 3х = 180 - 48; 3х = 132; х = 132 : 3; x = 44. Toдi ∠PKE = 44°, ∠MKE = 180° - 44° = 136°.

Відповідь: 136° і 44°.

110. Нехай ∠ACB = х°, тоді з умови ∠MAB + ∠ACB = 180° випливає, що ∠MAB = 180° - ∠ACB = 180° - х°. Оскільки ∠ACB і ∠KCB — суміжні, то ∠KCB = 180° - ∠ACB = 180° - х°. Отже, ∠MAB =∠KCB = 180° — х°.

111. Якщо ∠MBC = ∠BEF, тоді ∠ABE + ∠BED = ∠MBC + (180° - ∠BEF) = ∠MBC + (180° - ∠MBC) = ∠MBC + 180° - ∠MBC = 180°.

112. Якщо два кути мають спільну сторону і їхня сума дорівнює 180°, то не обов’язково ці кути будуть суміжними. ∠AOB і ∠BOC мають спільну сторону OB і ∠AOB + ∠BOC = 120° + 60° = 180°, проте ∠AOB і ∠BOC не є суміжними.

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

113. Прямі а і b розбивають фігуру на шість частин.