Розв’язання усіх вправ і завдань до підручника «МАТЕМАТИКА. 6 клас» Мерзляка А. Г. - 2016 рік

§ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

4. Прості та складені числа

110. 1) Простим; 2) складеним; 3) складеним; 4) складеним; 5) простим; 6) складеним.

119. Єдиною парою послідовних натуральних чисел, які є простими, є числа 2 і 3.

Відповідь. 2.

120. Сума двох простих чисел може бути простим числом, наприклад, 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7, хоча числа 2, 3, 5 і 7 — прості.

121. 1) Так. Наприклад, 13 ∙ 1 = 13;

2) ні, бо коли а = 1, то 1² = 1 — не просте число, якщо а > 1, то а² дорівнює добутку двох однакових множників і мас більше, ніж 2 дільники.

122. Так. Наприклад, числа 4 і 9 — складені, а 4 + 9 = 13 — просте число.

123. Периметр Р = 2(а + b) — завжди парне число, більше за 2, тому воно складене.

124. 1) Може, якщо у добуток входить множником число 3;

2) не може, оскільки серед простих чисел немає множника, який би ділився на 9.

Відповідь. 1) Може; 2) не може.

125. 1) Ні. Трійка натуральних чисел 1, 2 і 3 не задовольняє умову, бо число 1 не є простим. Серед будь-яких трьох послідовних натуральних чисел хоча б одне — парне і більше за 2 (тобто ділиться на 2), а воно є складеним;

2) так, числа 1, 2 і 3 є послідовними натуральними числами, жодне з яких не є складеним.

Відповідь. 1) Ні; 2) так.

126. 1) Якщо n = 1, то число 2n = 2 ∙ 1 = 2 — просте. При всіх інших натуральних значеннях n число 2n — складене, оскільки ділиться на 2;

2) якщо n = 1, то число n² = 1² = 1 — ні просте, ні складене. При всіх інших натуральних значеннях n значення виразу n² — складене число, оскільки ділиться на n;

3) якщо n = 1, то число n(n + 1) = 1 ∙ 2 = 2 — просте. При всіх інших натуральних значеннях n значення виразу n(n + 1) — складене число.

Відповідь. 1) n = 1; 2) ні за жодного значення n; 3) n = 1.

127. Нехай дане складене число існує. Тоді воно має розкладатися принаймні на два простих множники а ∙ b, до того ж кожен з цих простих множників має бути більший за 7. Найменше з таких чисел — 11. Але 11 ∙ 11 = 121 > 100. отже, задане число є простим.

Відповідь. Так.

128. При діленні числа на 6 можливі остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5, тобто число можна записати так: 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4, 6n + 5. Числа 6n, 6n + 2, 6n + 4 є парними, отже, вони не можуть бути простими. Число 6n + 3 ділиться на 3 і воно не може бути простими. Отже, остача при діленні простого числа, більшого за 1000, на число 6 може бути 1 або 5. Наприклад, 1001 : 6 = 166 (ост. 5), 1003 : 6 = 167 (ост. 1).

Відповідь. 1 або 5.

129. Різниця двох непарних простих чисел є числом парним і не може дорівнювати 17. Якщо різниця двох простих чисел — число непарне, то від непарного числа необхідно віднімати просте число 2. Шуканими числами є 19 і 2, бо 19 - 2 = 17.

Відповідь. 19 і 2.

130. 1) 1,6 ∙ 1,6 = 2,56 (см²) — площа квадрата;

2) 2,56 : 0,8 = 3,2 (см) — довжина прямокутника.

Відповідь. 3,2 см.

Відповідь. 1) 1,3; 2) 550; 3) 33,07; 4) 264,1.

132. 1) 8, 16, 24, 32,40; 2) 18, 36, 54, 72, 90; 3) n, 2n, 3n, 4n, 5n.

133. Оскільки число а кратне 15 і 6, то воно кратне 5 і 2. Отже, дане число ділиться націло на 10.

Відповідь. Ділиться.

134. Оскільки число а кратне 6, то воно має множником число 3. Частка чисел а та b кратна 12, тому має множником число 3. Отже, дане число ділиться націло на 9.

Відповідь. Ділиться.

137. Ні, не може. Лівий нижній і правий верхній кути шахівниці мають однаковий колір. Щоб обійти всі клітинки шахівниці, слід зробити 63 ходи, але кожен хід змінює колір клітинки. На 63-у ході колір клітинки буде іншим від початкового, що суперечить розміщенню клітинок на одній діагоналі.