Розв’язання вправ та завдань до підручника «МАТЕМАТИКА» О. М. Афанасьєва 11 клас - 2011 рік

Розділ 6. Об'єми і площі поверхонь геометричних тіл

289.

1) ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед.

AC = 5 см. A₁C = 15 см.

ΔAA₁C: ∠ A = 90°.

Відповідь:

2) V — ? Δ AD₁CD: DC = 3, D₁C = 5 → DD₁ = 4.

V= 3 × 4 × 4 = 48см³.

Відповідь: 48 см³,

3) ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямий паралелепіпед.

А₁D = 4см.

290.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямий паралелепіпед.

1) PAA₁B₁B = 2(AB + AA₁) = 10 см; Р_АВСD = 2(АВ + АВ) = 6 см.

Р_АA1D1D = 2(АА₁ + АD) = 8 см. Нехай AB = х, AD = у, АА₁ = z;

x — ? у — ? z — ?

2(х + y + z) = 12,

V= x × у × z = 1 × 3 × 2 = 6 см³.

Відповідь: V = 6 см².

2) ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед.

A₁C = 6 см. AA₁ : AB : AD = 3 : 2 : 1.

V— ? AA = 3k, AB = 2k, AD = k.

Відповідь:

3) Q — центр симетрії паралелепіпеда.

Відстані до ребер AA₁ дорівнює QF=9 см. V— ?

AD = QN = 8 см, DC = QM = 7 см. QF = OA = 9,

AB = x, AD=y, AA₁ = z.

Маємо:

18² + 16² + 14² = 2(х² + у² + z²);

(х² + у² + z²) × 2 = 18² + 16² + 14²;

18² + 16² + 14² = 2(х² + у² + z²) → 18² + 16^s + 14² = 2 × 18² + 2z² → 2z² =

= 16² + 14² - 18² = 128: z = 8.

2(y² + 16²) = 18² + 16² + 14²;

2у² = 18² + 14² - 16² = 2 × 132;

2(х² + у² + z²) = 14² + 16² + 18²;

2(х² + 14²) = 14² + 16² + 18²; 2x² = 16² + 18² - 14²;

2х² = 384; х² = 192 = 4 × 48 = 4 × 16 × 3;

Відповідь:

4)

Діагональ прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює d,

A₁C = d. ∠A₁CA = α, ∠A₁CB = β. V — ?

ΔAA₁C: ∠A = 90°, A₁C = d, ∠A₁CA = α. AA₁ = A₁C × sin α,

AC = A₁C × cos α; AA₁ = d sin α, AC = d cos α.

ΔA₁CD: ∠A₁DC = 90°, ∠A₁CD = β. CD = A₁C × cos β, CD = d cos β.

ΔACD: AD = 90°,

Відповідь:

291.

ABCA₁В₁С₁ — правильна трикутна призма. AB = BC = AC.

1) V — ?

Відповідь: 18 см³.

2) AA₁ = 3 см.

AC = 9,

3) H = 3а, тобто AA₁ = 3АВ. V— ?

AB² = 36, AB = 6 → H= 18 см.

Відповідь:

4) AC₁ = a. ∠C₁AC = α. V— ?

AC = AC₁ cos α; C₁C =AC₁ sin α; AC = а cos α; H = a sin α.

Відповідь:

5) AA₁C₁C — квадрат, H = a, AB = a, V—?

Відповідь: 18 см³.

6) AA₁ = BD. BD ┴ AC в площині ABC. S_DD1B1B = 12 см². V—?

AA₁ = BD.

але

V = 24 см³. AB² = 16. AB = 4.

Відповідь: 24 см³.

7) V—? H — ?

Якщо в призму можна вписати кулю, то висота призми удвічі більше радіуса кола, вписаного в основу призми. H = 2r,

Відповідь:

292.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна чотирикутна призма.

1) A₁C = 13 см, BC =12 см. V — ?

Маємо:

13² = х² + 12² → x² = 25, х = 5 → 2² = 12² - 5² = 7 × 17;

Відповідь:

2) DC₁ = 8 см, ∠C₁DA₁ = 60°. З умови DA = DC → DA₁ = DC₁.

ΔA₁C₁D: ∠D = 60° і DA₁ = DC₁ → A₁C₁ = C₁D = A₁D = 8 см.

AC = 8, 2х² = 8² → x² = 32,

ΔDC₁C: ∠C = 90°, DC₁ = 8,

Відповідь:

3)

ABCBA₁B₁C₁B₁ — правильна чотирикутна призма.

S_AA1C1C = S. A₁C = d. V — ? V_{AA1B1C1D1DCBA} — ? AB = x,

AA₁ = z.

ΔA₁CA: ∠A = 90°, A₁C = d, d² = 2х² + z².

4x⁴ — 2x²d² + S² = 0; x — ? z — ?

але X² ≥ 0.

або

Відповідь:

293.

ABCDFKA₁B₁C₁D₁F₁K₁ — правильна шестикутна призма.

1) Всі ребра дорівнюють 1 м. V—?V=1см³.

2)AB = 1 м. AB = BC = CD = DF = FK = KA.

В призму можна вписати кулю. V— ?

BF = 2AB = 2. H = 2R = 2.

Відповідь:

3) AD₁ = d. ∠D₁AD = α. V — ?

ΔAD₁D: ∠D = 90°, ∠A = α, AD₁ = d = D₁D = d sin α → H = d sin α.

Відповідь:

4) Переріз призми ABD₁F₁, ABD₁F₁ — прямокутник.

S_ABD1F1 =S. ∠F₁AF = α. V— ?

S = AB × AF₁, AF — ?

AF² = 3AK² = 3АВ²;

Відповідь:

294.

ABCA₁B₁C₁ — пряма призма.

1) ΔABC — рівнобедреник, AB = BC = а.

∠ABC = a. V— ?

S _ΔABC = 2 × S _ΔABC × cos β;

B₁B — ?

ΔАВС: a =AB = СВ,

ΔBB₁E: ∠B = 90°,

Відповідь:

2)

ABCDA₁B₁C₁D₁ — пряма призма.

ABCD — трапеція, BC ‖ AD. AB = CD, AC = BD = a. ∠C₁AC = β, ∠CAD = α.

V — ? S_осн. — ? CD₁‖ BD, CD₁ =NAC, ∠D₁AC = α.

ΔD₁AC: ∠ACD₁ = 180° - 2α, sin(180° - 2α) = sin 2α.

H—?

H = C₁C = AC tg β = а tg β.

Відповідь:

3)

ABCDA₁B₁C₁D₁ — пряма призма. ABCD — ромб. ∠DAB = α.

A₁C = l, ∠A₁CA = β. V_пр. — ?

ΔА₁СА: ∠A = 90°, ∠C = β, A₁C = l → A₁A = A₁C × sin β = I sin β;

A₁A = = I sin β. A₁A = H; AC =A₁C × cos β = I cos β. AC = I cos β.

ABCD — ромб. S_ABCD — ? AD — ?

V = A₁A × S_ABCD.

Відповідь:

4)

ABCA₁B₁C₁ — пряма призма.

AA₁ = I. ∠AB₁B = β, ∠ACB = 90°,

∠ABC = α. V — ? AB — ? CB — ?

ΔAB₁B: ∠B₁BA = 90°, B₁B = I, ∠AB₁B = β. AB = l tg β.

ΔΑ BC: ∠C = 90°, ∠ABC = α → CB =AB cos α = l tg β cos α.

Відповідь:

295.

Прямий круговий циліндр. O₁A = I, O₁O = H, ∠O₁AO = φ. V — ?

O₁A = l, O₁O = Н, ∠O₁AO = φ. V — ?

1)

S_OCH = πR² = 27π. V = 27π × 3 = 81π.

Відповідь: 81π см³.

2)

Відповідь:

3)

Відповідь:

296.

Прямий круговий циліндр. V — ?

1) AA₁B₁B — квадрат. S_AA1B1B = AB² = S,

Відповідь:

2) В циліндр вписана правильна чотирикутна призма AA₁D₁B₁C₁CBD.

ACBD — квадрат, AC = CB = BD =AD = a. AA₁ = h. V—? V= a²h.

Відповідь: a²h куб. од.

3)

Циліндр вписаний в кулю радіусом її. V — ?

OA = R, O₂A = r. г — ?

r = х.

х — ? V _найб. — ? х — ? V′ = 0,

V′ = 0, якщо

V′(х) > 0, якщо і V′(х) < 0, якщо

В т. приймає найбільше значення.

Відповідь:

4)

Прямий круговий циліндр.

Переріз CA₁B₁D, A₁E₁ = E₁B₁, CO = OD, CA₁ = DB₁, V — ?

A₁B₁ ‖ CD. CA₁B₁D — трапеція, A₁B₁ ‖ CD, CA₁ = DB₁. AKB = α, ∠AOB = α. AB = а. ΔАОВ: OA = OB = R. OE ┴ AB, AE = ЕВ.

∠AOB = α,

ΔOE₁E: ∠E = 90°, E₁E — ? ∠B = φ.

Відповідь:

297.

Цистерна має форму, циліндра, H = 4,8 м, 2R= 1,4 м

Відповідь: 1,764π куб. од.

298.

R₁ = 0,65 см. R₂ = 0,65 см + 0,4 см = 1,05 см.

V = πR²₂ × L — πR²₁ × L = Πl(R²₂ — R²₁) = 2500π(1,05² - 0,65²) = 2500π(1,05 - 0,65) х × (1,05 + 0,65) = 2500π × 0,4 × 1,7= 1700π.

М = ρ × V = 11,4 × 1700π (г) = 16 кг.

299.

Знайдемо об’єм дроту. M = ρ × V,

300.

V = πR² × Η. 15 = π × 0,075² ×

301.

302.

V— ? V₁— ? H = 4,5 м, 2 R = 1,6 м. V = π × 0,8² = 4,5.

V₁ — ? H₁ = 1,5 м, 2R = 0,8 м. V₁ = π × 0,4² ϵ 1,5.

Відповідь: 12 бочок.

303.

V₁ = 1,4 × 0,8; V = 2,4 × 3 × 4,2.

n = 27.

Відповідь: 27.

304.

Припустимо, що V _діам = V. Ціна його Ц = kV². Розділимо цей діамант на 2 частини

але тому вигідніше продавати діамант цілим.

305.

1) S — ? ΔABC: BA = 4 см, BC = 3 см, ∠ ABC = 45°.

Відповідь:

2)

ABCD — паралелограм, AC = 12 см, BD = 10 см, ∠ DOC = 30°.

S_ABCD = 30 (см²).

Відповідь: 30 см².

3)

ABCD — трапеція, BC ‖ AD, AB = CD = 10 см, BC = 4 см, AD = 16 см.

CF — ? FD — ?

FD = 4.

Δ CDF: ∠ F = 90°, CD = 10,

Відповідь:

306.

1)

2)

3)

307.

a) S = 1 — x²,

б)

в)

308.

1)

V — ?

Відповідь: πR²Η.

2)

V— ?

Відповідь:

3)

V—?

Відповідь:

309.

Куля (О, R). Переріз (O₁, K₁), OO₁ = 4 см.

S_перер. = 9π см² → πR₁² = π × 9 → π × 9 → R₁ = 3.

О₁A = 3, OO₁ =4 → ОА = 5, R = OA = 5.

Відповідь:

310.

V — ? R₁ = 8 см, R₂ = 4 см.

1 см³ = 0,000 001 м³. V= 597 × π × 10 ^-6 м³.

M_кулі = 597 × 3,7 × 10^-6 × 73 × 10² = 597 × 73 × 3,7 × 10^-4 ≈ 13,7 (кг).

Відповідь: ≈ 13,7 кг.

311.

Півкулі і циліндр з тим самим радіусом.

H — ? R = 14дм.1л = 1 куб. дм.

π = 3,14.

H ≈ 10,2 дм.

Відповідь: = 10,2 дм.

312.

V_ц = πR²H. R₁ = R = 2 см,

R × H = 64 → 2 × H = 64 → H = 32 см.

V_ц = π × 2² × 32 = 128π см ³.

313.

ΔOBM. OB = 6, BM = 2.

314.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — похилий паралелепіпед, основа — квадрат.

ABCD — квадрат. AB = а, AA₁ = l, ∠A₁AF = α,

A₁F = H. V— ?

A₁F = AA₁ × sinα,

H = l × sin α, V = S_осн × H = а² ×I sin α.

Відповідь: a²l sin α куб. од.

315.

ABCA₁B₁C₁ — похила трикутна призма.

1)

AABC — правильний. AB = 4 см, AA₁ = 6 см,

A₁F ┴ ABC, ∠ A₁AF = 30°. V — ?

H = A₁F = 3,

Відповідь:

2)

ABCA₁B₁C₁ — похила трикутна призма.

Основа — трикутник ABC, ∠C = 90°,

CA = CB = α, CC₁ = l, BB₁ = CC₁ = l, ∠CC₁A = α,

C₁CB = α. V_пр. — ? V = S_осн. × H, H —?

H — ?

B₁Q ┴ ABC, H = B₁Q. C₁M ┴ ABC, C₁M = B₁Q = Н,

B₁K ┴ CB, ∠B₁BK = 180° - α.

B₁K = B₁B × sin(180° - α) = l × sin α,

B₁L ┴ CA.

За умовою, CB = CA, паралелограми BCC_iB₁ i ACC₁A₁ рівні,

тому: якщо B₁L ┴ CA і B₁K ┴ СВ, то B₁L = B₁K,

AKB₁L — рівнобедрений, у нього B₁Q — висота, медіана.

За умовою ∠CC₁B = ∠C₁CA і B₁Q ┴ ABC,

тоді т. Q належить бісектрисі кута ∠ACB,

звідси CL = CK → B₁K = B₁L = I sin α.

KB = B₁B cos(180°- α) = -l cos α →

→ CK = a - (-l cos α) = a + l cos α,

→

AB₁QK: ∠Q = 90°, B₁K = l sin α,

Відповідь:

3)

ABCA₁B₁C₁ — похила трикутна призма.

Трикутник ABС — прямокутний, рівнобедрений,

∠ACB = 90°, CA.= CB = α, C₁C = A₁A = B₁B = I, CF ┴ AB,

C₁F₁ ┴ A₁B₁, CF = h. V_пр. — ? V_пр. = S_осн. × H, S_ocн. — ? H — ?

H — ? C₁D ┴ ABC₁, C₁D = H.

318.

Дано прямий круговий конус.

V — ? FA = 6 см, FO ┴ ABC, FO = H.

AO = 3, AO = R = 3.

1)

Відповідь:

2) R_кулі — ? V_кулі = V_конуса

Відповідь:

3)

В конус вписана правильна чотирикутна піраміда

FANBL, V _{піраміди} — ?

ANBL — квадрат, AO = 3, OL = 3,

S_oсн = AL² = 9 × 2 = 18,

Відповідь:

4)

Прямий круговий конус. FA= 6 см, ∠FAO = 60°.

В конус вписано прямий круговий циліндр, OO₁ = 3 см.

V_ц — ? V_ц = πr², r — ? CO = r, r = C₁O₁.

За умовою ∠FAO = 60°, ∠AOF = 90°,

FA = 6 → AO = 3,

OO₁ = 3. ΔFC₁O₁ ∞ ΔFAO,

Відповідь:

5)

В косинус вписана куля. (О₁, r). V_к — ?

AF = 6 см, AO = 3 см,

Точка Z — точка дотику кулі і конуса.

O₁O = r, O₁Z = r. r — ? AO = AZ = 3 → FZ = 3.

ZO₁ ┴ AF,

Відповідь:

6)

Куля (О₁, R₁) oписана навколо конуса.

V_к — ? R₁ — ? FO₁ = R₁,

AO = 3, R₁ = x.

ΔAO₁О: ∠O₁OA = 90°;

AO₁ = х, AO = 3.

Відповідь:

319.

Дано прямий круговий конус, твірна SA = І, ∠ASB = α.

Переріз ASB — осьовий переріз.

1) V_к — ?

ΔSAO: ∠SOA = 90°, AS = l,

Відповідь:

2) куля (O₁, R).

Відповідь:

3)

В конус вписана трикутна піраміда, правильна піраміда SACD.

V_пір — ? a = AC.

AC — ?

Відповідь:

4)

В конус вписана куля (O_1, R₁). V_кулі —?

Точка K — точка дотику конуса і кулі.

ΔASB — осьовий переріз. OK₁ ┴ AS, OK₁ = R₁

R₁ —?

SA = l,

ΔSO₁K ∞ ΔSAO. R₁ = x,

Відповідь:

5)

Куля (О₁, R₁) описана навколо конуса. V _кулi — ?

SO₁ = R₁ = x — ?

ΔAO₁O: ∠O = 90°,

AO₁ = х, x — ?

Відповідь:

320.

Конус.

SA = 5 м, SO ┴ ABC,

H = SO = 3;

V = 50 (м³). M = 100 т. n = 100 : 3 = 33,3 (ходок).

Відповідь: 34 ходки.

321.

Косинус, твірна SA = 0,2 км, ∠SAO = 46°, V— ? M — ?

R =AO=AS × cos 46° = 0,2 cos 46°; R = 0,2 × cos 46° = 0,2 × 0,68,

R = 0,136 (км); H = SO = AS × sin 46° = 0,2 × 0,72 = 0,144, H = 0,144 (км);

V= 2800 м³ × 1000 = 28 × 10⁶ м³. M = 56 × 10⁶ т.

Відповідь: 56 млн. м.

322.

V_цил. = V_кон. = π × 0,05². H = 0,06 × 0,014π.

323.

Циліндр і конус, основа — спільна. R_ц = R_к =BO.

H_Ц = SO = 4 м. H_ц = OO₁ = 2,2 м.

V — ? M — ? ρ = 0,03 г/м³.

M = (20,5)² × 201672 × 0,03 = 2542580 г = 2542,58 кг ≈ 2,5 т.

Відповідь: ≈ 2,5 т.

324.

ΔAΟΗ:

325.

SABCD — правильна чотирикутна піраміда.

AB = BC = CD =AD = 8 см. SA = SB = SC = SD = 9 см.

1) V _пір. — ? S_OCH = AB² = 8² = 64;

SO ┴ ABC, SO = H — ?

SO = 7.

Відповідь:

2) V _кулі = V_пір., R_кулі — ?

Відповідь:

3)

Переріз A₁B₁CD₁ з центром в точці O₁,

a₁ = 2.

Відповідь:

326.

SABC — правильна трикутна піраміда SA = SB = SC = b. ∠SCB = α.

1) V_пір. — ?

AB —? AB = BC = AC = а — ? H = SO —? ΔSCE, SE ┴ CB.

В ΔCSB SC = SB, CE = EB.

CE = b cos α, CB = 2b cos α, a = 2b cos α. SE = b sin α.

ΔSOE: ∠O = 90°, SO² = SE² - OE²;

Відповідь:

2)

В піраміду вписано прямий круговий конус. V_кoн — ?

Відповідь:

3)

Знайти відношення об’єму вписаного в піраміду прямого кругового конуса до об’єму описаного навколо цієї піраміди прямого кругового конуса.

Відповідь:

4)

Переріз KFM ‖ CSB, KF ‖ CS, FN ‖ SB, KN ‖ CB. V_ANFK —?

H₁ — ?

Відповідь:

327.

Піраміда SABCD, основа — прямокутник ABCD,

AB = 6 см, AB = 8 см, SA = SB = SC = SD = 13 см.

1) V _пір. — ?

SO = H, SO ┴ ABC. ABCD — прямокутник.

SD = 13. ΔOSD: ∠O = 90°, OD = 5, SD = 13 → SO = 12, H = 12.

Відповідь: 192 см³.

2) V _пp. = V _пip. H — ?

H _пp. = 12.

Відповідь: 12 см.

3) ABCDA₁B₁C₁D₁ — зрізана піраміда A₁B₁C₁ ‖ АBС,

OO₁ = 9 → SO₁ = 12 - 9 = 3, SO ₁ = 3, SO₁: SO = 3 : 12 = 1 : 4.

V_ABCDA1B1C1D1 = 189 куб. од.

4)

H ₁ = H × k, a₁ = а × k,

b₁ = bk,

Відповідь:

328.

ΔABC — рівносторонній.

1)

Трикутник обертається навколо сторони АС. Утворюється 2 конуса,

у них спільна основа з радіусом R = OB і висотою H = ОС.

V = 2 CM³.

Відповідь: 2 см³.

2)

ΔАВС, АB = ВС = АС = 6 см.

Трикутник обертається навколо лінії l, де l ‖ AB.

Утворюється два конуса,

однакові, R = OB, H = ОС.

H = 3.

2V_к = 54π,

Утворився циліндр з висотою AB і радіусом основи OB = EB_, AB = 6,

V_{тіла об.} = V_ц - 2V_к = 27 × 6π - 54π = 54 × 2π = 108π.

Відповідь: 108π куб. од.

3) ABCD — ромб.

Ромб обертається навколо більшої діагоналі.

Утворилися два конуса, у них спільна основа з радіусом

R = OB і висотою AO = CO = H.

V= 75 см³.

Відповідь: 75 см³.

4)

Трикутник ABC, ∠C = 90°, BC = 6 см, ∠CAB = 30° → AВ = 12.

Трикутник обертається навколо гіпотенузи BA,

утворюються два конуса, у них спільна основа з радіусом

R = CD і висоти H₁ = AD і H₁ = ВD.

V _{тіла обер}. = V ₁ + V — ?

BC = 6, BD = 3,

CD² = BD × AD, 27 = 3 × AD, AD = 9.

Відповідь: 108π см³.

5)

Трапеція ABCD, BC ‖ AD, обертається навколо BC,

BC < AD, BC = 6 см, AD = 12 см, BF = 6 см. BF ┴ AD.

Відповідь: 360π.

6)

Рівнобедрений трикутник ABC, AB = BC, AC = 12 см,

∠ABC = 120°, EF — середня лінія, EF ‖ АС.

Трикутник обертається навколо середньої лінії EF,

утворюються циліндр і 4 конуса, у них радіус основи

R = OB, висота H = EO. OB — ? OE — ?

EO = 3.

Утворився циліндр з висотою OO₁ = 6 і радіусом основи

V_{тіла об.} = 2 × (V_ц -V_κ) = 2(18π-3π) = 30π.

Відповідь: 30πсм³.

329.

1) ABCD — прямокутник, AB = 3 см, AD = 2πR = 2R × π = 5π см,

2) OA = см; AKB = 2π × 2 = 4π.

330.

Відповідь: (1200 + 112,5 × π) кв. од.

331.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямий паралелепіпед.

ABCD — паралелограм, AB = a, BC = b, b > a.

∠BAD = α, AA₁ = І.

1) S_б.пов. —?

S _б.пов. = 2 × (a + b) × l.

Відповідь: 2 × (a + b) × l.

2) S_п.пов — ?

S_{п. пов} = 2(а + b) × l + 2 × а × b × sin α.

Відповідь: 2((а + b)l + аb sin α).

3) S_AB1C1D —?

AD = b.

Відповідь:

332.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна чотирикутна призма.

1) A₁B = 5 м. S_{п. п.} — ?

ΔA₁CB: ∠B = 90°,

BC = 3. AB = BC = CD = AD = 3; a = AB = 3.

ΔA₁AB: ∠A₁AB = 90°; A₁B = 5, AB = 3 → A₁A = 4, H = A₁A = 4.

2) S_{п. п.} = 2S_осн. + 4S_ABB1A1 = 2 × 3² + 4 × 3 × 4 = 2

S_{п. п.} = 2 × 9 + 48 = 18 + 48 = 66, S_{п. п.} =66 (м²).

Відповідь: 66 м².

3) S_{п. п.} —?

AB = 3 м. A₁B = 5м. S_{n. п}. =66 м².

4) S_{п. п.} —?

S_AA1C1C = S,

Відповідь:

333.

ABCA₁B₁C₁ — пряма призма.

1)

ΔABC — правильний.

AB = 12 см, ∠ B₁AB = 60^° → AB = 6 см,

S_{п. п.} — ?

Відповідь:

2)

Δ ABC: ∠ C = 90°, BC = 3 см, AC = 4 см → AB = 5 см.

S_A1B1B = 10 см ², 10 = 5 × AA₁, H = AA₁ = 2 (см). S_{п. п.} — ?

Відповідь: 57 см².

334.

S _б. = 2 × (13 × 10 + 13 × 37) = 26 × 47 (м²).

Кількість розчину M = 20 × 26 × 47 кг = 24,44 кг.

335.

SABC — правильна трикутна піраміда.

AS = BS = CS = 12 см.

1)

S_{п. п.} — ? SO =H. ∠ ASO = 30°.

З умови маємо AO = 6,

ΔABC:

OE₁ = 3.

Відповідь:

2)

S_{п. п.} —? SE₁ = 6 см, ∠ SE₁A = 45°.

Відповідь:

3)

Δ ABC: AB = BC = AC = b. S_{п. п.} — ?

Відповідь:

4)

∠SAE₁ = α, OE = r. S_п.п. — ?

AE₁ = BE = 3r.

ΔSAO: ∠O = 90°, ∠SAO = α,

AO = 2r → SO=AO × tg α, SO = 2r tg α.

ΔSOЕ₁: ∠O = 90°, OE₁ = r,

Відповідь:

5) ΔABC — правильний, AB = BC = AC = a.

V_nip = V. S_п.п. — ?

S_п.п. = S_ocн. + 3S_ΔBCS, SЕ₁ — ? SO — ?

ΔABC: AB = a,

ΔSOЕ₁:

Відповідь:

6) V_пір. = V, ∠ASO = α →

Позначимо AB = a, тоді

336.

SABC — трикутна піраміда.

1)

ΔABC — прямокутний рівнобедрений, ∠ACB = 90°, АВ = 5 см.

Всі бічні ребра SA, SB, SC нахилені до площини основи під кутом 60°,

∠SAO = ∠SBO = SCO = 60° → SO = Н, де т. Н — центр кола, описаного навколо ΔABC, т. О ϵ АВ, AO = ОВ = ОС = R. АВ = 5, АО = 2,5, R = 2,5. S_{б.піраміди} — ?

ΔABC: ∠C = 90°, АС = ВС,

ΔASO: ∠O = 90°,

AS = 5 → BS = 5.

ΔASB:

ΔASC: SA = SC = 5,

Відповідь:

2)

Піраміда SABCD, ABCD — ромб,

BD = 6 м, AC = 8 м, SO = H, AC BD = 0. SO ┴ ABC. SO = 1 м. S_б.п. — ?

Δ DOC: ∠O = 90°, OC = 4, OD = 3 → DC = 5 = AD. OQ ┴ DC, DC — ?

DO × OC = DC × OQ,

S_б.п. = 26M².

Відповідь: 26 м².

337.

CD = 1,8 (за умовою).

ΔOSK:

OS = 1,2 (за умовою). S_б. = 2 × 1,8 ×1,5 = 5,4.

Площа заліза: S_б. +10 % × S_б. = 5,4 + 0,54 = 5,94 ≈ 6 м.

338.

Циліндр прямий круговий. AA₁B₁B — осьовий переріз.

SAA₁B₁B =8 см², АО = R = 2 cм.

1) S _б.п. — ? S _б.п. = 2πR × H— ?

S_AA1B1B = AA₁ × AB = H × 2R = 2RH = 8. S _б.п. = 8π.

Відповідь: 8π см².

2) S _п.п. — ? S_п.п. = S _б.п. + 2S_осн. — ?

S_осн. = πR² = π × 4 = 4π, S _п.п. = 8π + 8π = 16π.

Відповідь: 16π см².

3)

В циліндр вписана правильна чотирикутна призма з основою FKNL — квадратом. S_{п. пр.}— ? Н = FF₁ — ?

Н = AA₁ = FF₁ = 2.

Біля даного циліндра описана правильна чотирикутна призма, її основа — квадрат ZMPT. сторона квадрата ZT = 2R = 4, S_осн. = 4² = 16, 2S_осн. = 32.

S_б.пр.= 4 × АА₁ × ZT = 4 × 2 × 4 = 32. S _{п. пр.} = 32 + 32 = 64.

Відповідь: 64 см².

339.

Прямий круговий циліндр. AA₁B₁B — осьовий переріз,

S_AA1B1B = p. V_п = 3.

1) S_{п, п,} — ?

Відповідь:

2)

Відповідь:

340.

S_матер. = 10⁶ — 10² × π + 0,1 × 10⁸ × π = 10⁷ × π × (10 + 1) = 11π × 10⁷ см ² =

= 1,1π × 10⁴ M² = 11 000π м ².

341.

S = 2πR × H.

∠ AOBC = 2π - 1,23); ACB = 2(π - 1,23)R.

S_б. = (2π - 2,26) RH = 3,82RH м — обсяг роботи.

Кількість краски M = 3,82ρHR кг, де ρ — кг/м² — кількість краски на 1 м².

342.

V=πR² × H =10⁴ см³,

S = πR² + 2πRH = πR(R + 2Н) = 2091 см².

Кількість матеріалу: 2091 + 209 = = 2300 см² = 0,23м².

343.

Прямий круговий конус.

S_осн.= S. SO ┴ ABC, SO = H. OA = R, ∠ FAO = α.

1) S_б.к. — ?

S_б.к. = πRl, l = FA.

l — ?

Відповідь:

2)

Відповідь:

3)

В конус вписана правильна n-кутна піраміда і описана правильна n-кутна піраміда. Знайти відношення площ бічних поверхонь цих пірамід.

344.

Дано прямий круговий циліндр, АА₁В₁В — осьовий переріз.

А₁В = 16 см. ∠А₁ВА = 60°. ОО₁ = Н.

1) S_п.п. — ? АВ — ? АА₁ = H - ?

Δ A₁AB: ∠ А = 90°, АВ = 60°, А₁В = 16.

АВ = 8 → В = 4. S_осн. = πR² = 16π. 2S_осн. = 32π.

Відповідь:

2) S_{б. к.} — ? H_к. = H_ц. S_осн.к. = S_осн.ц. S_б.к. = πRl, l — ?

Відповідь:

345.

1) S_{повн.пір.} = S_осн. + S_б.

ΔOSD: 2OS² = SD², OS² = 18.

ΔABD: 2a² = BD², a = 6. ΔADS — правильний.

S _осн. = a² = 36;

2)

3)

346.

S_{повна пірам.} = S_осн. + S _б.. S_осн. = 144.

S _{повна пірам.} = 144 + 288 = 432 дм².

1) S _б. = 288 дм².

2) S_куба = 6а² = 432 =

3) S_кон = πR² + πRL = 36π + 72π = 108π дм².

R = 6, L = SK = 12.

4)

AOSK:

347.

348.

S _б. = πRL. ΔSBO.

S_матер. = 34 + 3,4 = 37,4 м². S₁ листа = 0,98 м².

Кількість листів:

349.

S = π(r² + L(R + r)). ΔBB₁K.

350.

1) OO₁ = 4 (з умови), C_O1 = 18 → 2πr = 18;

ΔA₁O₁O:

Площа поверхні кулі

2)

3) ОH = ВH (з умови). ΔОВH:

4) S _{опис.цил.} = 2πR² + 2πR × 2R = 6πR².

351.

1) Радіус сфери, вписаної в куб з ребром а, дорівнює

і поверхня сфери

2) Радіус сфери, вписаної в циліндр з радіусом основи R і висотою 2R,

дорівнює R і поверхня сфери S = 4πR².

3)

Розглянемо ΔSHE, ОЕ — бісектриса

SH = h,

Властивість бісектриси:

Властивість пропорції

і поверхня сфери

352.

1) Нехай радіус кулі, описаної навколо куба ОС₁ = Е,

а ребро куба АВ = ВС = ... АА₁ = а,

тоді і із Δ OH₁C₁:

Радіус кулі, вписаної в куб, дорівнює

і поверхня цієї кулі

S _опис. = 4πR²;

2)

Нехай АА₁ = АВ = а,

Тоді

Із ΔОH₁B₁:

S_{кулі опис.} = 4πR² = 2π²; S_{кулі опис.}= 4πr² = πа²,

353.

AO = OB = 2 см (з умови).

S_AA1B1B = AB × AA₁ = 4AA₁ = 64 см² → АА₁ = 16 см.

Циліндр:

S_пов. = 2π × АО² + 2π × АО × АА₁ = 2π × АО(АО +АА₁) = 4π × 18 = 72 см². Півкуля. S_пов. = 2π × АО² + π × АО² = 3π × AO² = 12π см².

Куб із півкулі:

Нехай ребро куба СЕ = DE = ... = СС₁ = а,

тоді з ΔCDE

з ΔОСС₁ (OC1 — радіус півкулі, ОС₁ = 2).

Звідси а поверхня куба

S_кулі = 6 × а² = 16см². Це буде найбільший куб, який можна вирізати із півкулі.

354.

Куб об’ємом V має площу поверхні

V = а³,

Куля об’ємом V має площу поверхні

Тобто S_куба. >S _кулі..

Куб охолоне швидше, ніж куля.

355.

Розглянемо ΔO₁MC і ΔO₂МС.

2О² -OC² = 13² - (21 — O₁C) → O₁C = 16 і O₂C = 5(O₁C + O₂C = 21).

Тоді AС = 4(AС = O₂C — О₂А = 5 - 1 = 4) і BС=BO₂ — СО₂ =13 - 5 = 8.