Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 7. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами

233.

а) Якщо то α = 90°, α — кут між векторами.

б) то α — гострий;

а) то α — тупий.

234.

а)

б)

в)

г)

235.

а)

б)

236.

а)

б)

в)

г)

237.

а)

б)

в)

238.

α — кут між векторами

а)

б)

в)

г)

239.

а)

звідси

б)

звідси

в)

звідси

г)

звідси

240.

А(2; 1; 3), В(7; 4; 5), С(4; 2; 1)

Отже,

тобто ∠C = 90°, а тому ΔABC — прямокутний.

241.

а) Якщо то тобто х + 9 = 0;

х = -9. Отже, при х = -9.

б) Оскільки то x² - 25 = 0: х² = 25;

x = 5 або x = -5;

в) x+ 2 + 3x - 6 = 0; 4x = 4; x = 1. При х = 1

г) x² + x - 12 = 0; x = 3; x = -4.

Отже, при x = 3 або x = -4 вектори перпендикулярні.

242.

Нехай тоді (оскільки — колінеарні).

Звідси x = -2y; z = -2у. (за умовою).

Тому: 2x - у + 2z = 18 або 2 × (-2y) - y + 2 × (-2у) = 18;

-9y = 18; у = -2. Тоді x = -2 × (-2) = 4; z = -2 × (-2) = 4. Отже, а(4; -2; 4).

243.

α — кут між векторами

а) звідси α = 30°;

б) звідси α = -135°.

244.

а)

б)

245.

а)

б)

в)

г)

246.

247.

а)

б)

в)

г)

ґ)

248.

якщо тоді

249.

а)

б)

250.

A(1; 4; 8), В(-4; 0; 3), O(0; 0; 0).

251.

А(0; 2; -1)

а) Нехай 0(х; 0; 0), тоді

Оскільки то -2х -2 + 1 = 0; -2х = 1; х = -0,5.

Отже, О(-0,5; 0; 0).

б) Нехай D(0; у; 0), тоді

у -1 = 0; у = 1. Отже, D(0; 1; 0).

в) Нехай D(0; 0; z), тоді

z - 1 = 0; z = 1. Отже, O(0; 0; 1).

252.

тому 3 × (3 - l) + 4(4 + 2l) + 5 × 5 = 0;

9 - 3l + 16 + 8l + 25 = 0; 5l = -50; l = -10.

253.

— сторони паралелограма,

і — діагоналі паралелограма.

254.

а)

б)

в)

255.

а)

б)

в)

256.

257.

Нехай Тоді х - 2у + z = 0 і 2х + у - 3z = 0.

Маємо систему:

Отже, або

258.

Розмістимо призму в системі координат, як показано на рисунку.

Тоді А(0; 0; 0), С(0; 1; 0),A₁ (0: 0; 2),

С ² (0; 1; 2).

а)

б)

259.

Розмістимо тетраедр в системі координат, як показано на рисунку,

а — ребро тетраедра. А(0; 0; 0); С(0; а; 0);

Знайдемо кут між AS і AM.