Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 5. Вектори у просторі

156.

ABCDEF — правильний шестикутник.

а)

б)

в) але

157.

158.

а)

б)

в)

159.

160.

а)

б)

в)

161.

162.

А(х; у; z).

тому -5 - х = З, x = -8; 4 - у = 4, у = 0; 1 - z = 2, z = -1.

Отже, А(-8; 0; -1).

163.

С(-2; -1; -3); с = (-1; 3; -2); B(x; у; z);

х = 2 = -1, х = -3; у+1 = 3, y = 2; z + 3 = -2, z = -5.

Отже, В(-3; 2; -5).

164.

ΔMNK — рівнобедрений.

тому NP — висота ΔMNK і медіана. Р — середина МK.

або P(З; 1; 4).

165.

а) О — середина АС.

O₁ — середина BD;

О і О₁ збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються

і точкою перетину діляться навпіл. Отже, ABCD — паралелограм.

б) O(1; 3; -1) — середина АС.

О₁(1; 0; -1) — середина BD.

Середини діагоналей не збігаються, тому ABCD не є паралелограмом.

166.

Оскільки то х² + 5 = 14; х² = 9; х = 3 або х = -3.

167.

а

168.

а)

1) — колінеарні вектори;

2) — колінеарні вектори;

3) — неколінеарні вектори;

4)

— неколінеарні вектори.

б) Компланарні вектори:

169.

170.

171.

Отже,

Отже,

172.

Нехай

Тоді

16 - 8d + d²+ 16 + 16 + 8d + d² = 56;

2d² + 48 = 56; 2d² = 8; d² = 4; d = 2 або d = -2.

Тоді або

173.

а) О — середина AC; O(2; -2; 1), але О — середина і діагоналі BD.

Нехай D(x; у; z), тоді x = 2; y = -8; z = 8.

Отже, D(2; -8; 8).

б)O — середина АС; Нехай D(x; у, z), тоді знайдемо середину BD,

ця середина збігається з т. О, тому х = -1;

у = 0; z = -1.

Отже, D(-1; 0; -1).

174.

а) А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4).

О — середина АС: O(5; 5; 5); О₁ — середина BD: O₁(0; 0; 0).

АС і BD перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

У паралелограма ABCD сторони рівні, а діагоналі ні.

Отже, ABCD — ромб,

б) M(3; 5; 2), N(7; 1; 2), P(3; -3; 2), K(-1; 1; 2).

О — середина МР: O(3; 1; 2); О₁ — середина NK: О₁(3; 1; 2).

MNPK — паралелограм.

У паралелограма MNPK діагоналі рівні, тому MNPK — прямокутник.

У прямокутнику MNPK сторони рівні. Отже, MNPK — квадрат.

175.

Оскільки N — середина ВС, K — середина АС, то NK — середня лінія ΔАВС.

NK ‖ ВА, але МА також дорівнює

(довжини їх рівні і вони однаково напрямлені).

Отже,

176.

а) 20 + a² = 21; а² = 1; а = 1 або а = -1;

б) а² - 2а + 18 = 21; а² - 2а - 3 =0;

а = 3 або а = -1;

в) а² + 1 + а² + 4а + 4 = 21;

2а² + 4а - 16 = 0; а² + 2а - 8 = 0; а = -4 або а = 2;

г)

а² - 2а + 1 + а² - 4а + 4 + а² + 2а + 1 = 21; 3а² - 4а - 15 = 0; D = 16 + 180 = 196;

а = 3 або

177.

а) Вектори рівні, отже, вони мають однакові координати,

тому m² = m; m² - m = 0; m = 0 або m = 1.

б) Звідси m = -3.

в) Звідси m = 2.

г) Звідси m = 1.

178.

а) неколінеарні;

б) неколінеарні.

179.

а) некомпланарні, оскільки прямі AD і ВС мимобіжні.

б) — компланарні, бо лежать в одній площині,

а лежить в площині (КТР), яка паралельна площині (BCD).

180.

181.

лежать на мимобіжних прямих.

Через проведемо дві паралельні площини α і β.

знаходиться в площині α, або в площині β,

або в площині, паралельній α і β,

тобто паралельний α і β.

Оскільки і — паралельні, то лежить в площині α,

або β, або в площині, паралельній α і β, тобто

— компланарні.