Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 34. Об’єм кулі та її частин

1338.

а) Нехай ABCDA₁В₁C₁D₁ — куб.

Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а,

Отже, об’єм кулі

б) Оскільки діагональ куба дорівнює двом радіусам кулі, то знайдемо діагональ

з ΔB₁BD:

Отже, радіус, кулі

Об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь: а) б)

1339.

Нехай SA — твірна конуса. ∠SAO = α.

З ΔSAO: AO = SA × cos α = l cos α.

(оскільки AO₁ — бісектриса кута KAO).,

З ΔAO₁O:

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь:

1340.

Нехай г — радіус кулі, вписаної в циліндр, тоді H — висота циліндра, H = 2г.

Отже, об’єм кулі об’єм циліндра V₂ = πr²H = πr²× 2г = 2πr².

Твердження доведено.

1341.

Нехай ОО₁ = KL = 2г. Об’єм циліндра V₁ = πr²× 2г = 2πг³.

Об’єм шара

Отже, при виготовленні кулі сточено матеріалу.

Відповідь: 33,3 %.

1342.

Нехай ABCD — квадрат — осьовий переріз циліндра,

AB = BC = CD = DА = 10 см. Радіус циліндра

V_{циліндра} = π ×AE²× AB = π × 25 × 10 = 250π (см³).

Об’єм кулі 750π = 4πг²,

Відповідь:

1343.

V₁— об’єм свинцевої кулі,

V — об’єм циліндричного знака V₂ = π × г² × 3 = 3πг².

Відповідь:

1344.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, який вписано в шар з центом О,

AS = SB = l, ∠SAB = α.

З ΔSAB за теоремою синусів маємо:

або звідси

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1345.

Куля розтинається гранями двогранного кута на дві частини: одна — четверта частина кулі, друга — три чверті кулі.

Відповідь: πг³.

1346.

Нехай AO ┴ OB, OB ┴ ОС, ОС ┴ AO.

Об’єм частини кулі, обмеженої площинами АОB, BOC, COA

дорівнює об’єму кулі, отже,

Відповідь:

1347.

Нехай АВ — діаметр кулі, Об’єм кулі

Площинами куля розбилася на два кульові сегменти і кульовий пояс.

Знайдемо V₁ — об’єм сегмента:

Об’єм кульового поясу:

Відповідь:

1348.

Нехай AO₁ : O₁B = 1 : 3, OA = OB = 12 см, AO₁ = х; O₁B = 3х, тоді х + 3х = 24;

4х = 24; х = 6. Отже, AO₁ = 6 см, O₁B = 18 см.

V₁ — об’єм першого кульового сегмента;

Відповідь: 360π см³; 1944π см³.

1349.

Нехай OA = 17 см, S₁ = 225π см ², S₂ = 264π см ².

S₁ = π × Ο,Α²; 225π = π × Ο₁Α²; O₁A = 15 (см).

S₂ = π × O₂B²; 264π = π × O₂Β²;

3 ΔO₁AO:

З ΔOBO₂:

Знайдемо висоту першого сегмента: CO₁ = CO — O₁O = 17 — 8 = 9 (см)

і другого DO₂ = OD — OO₂= 17 - 5 = 12 (см).

Об’єм першого сегмента:

Об’єм другого сегмента:

Об’єм кулі.

Об’єм кульового шару:

Відповідь:

1350.

При обертанні півкруга, розбитого на три частики, навколо діаметра утворяться два однакові кульові сектори і кульовий пояс, з якого витягнуто два конуси.

Об’єм кульового сектора

З ΔCOK: ∠COK = 60°;

KD = OD - OK = 9 - 4,5 = 4,5 (см).

Отже,

Об’єм кулі:

Тоді об’єм кульового поясу без двох конусів:

V₂ = V- 2V₁ = 972 - 2 × 243 = 486 (см³).

Відповідь: 243 см³; 486 см³.

1351.

Маса тіла обчислюється за формулою: m = р × V, де ρ— густина свинцю, V— об’єм тіла.

Знайдемо об’єм шматка свинцю: 1 = 11,4 × V, звідси

Знайдемо об’єм кульки:

Отже, зі шматка свинцю масою 1 кг відлили

Відповідь: ≈ 778 кульок.

1352.

Нехай радіус першого кавуна г, а другого — 2г.

Тоді об’єм першого кавуна другого —

Густина кавунів однакова і дорівнює ρ,

тоді

Отже, один кавун у 8 разів важчий за другий.

Відповідь: у 8 разів.

1353.

Знайдемо об’єм півкулі:

Знайдемо об’єм конуса:

Отже, об’єм півкулі у 2 рази більший від об’єму конуса,

результат експерименту відповідає теорії.

Відповідь: так.

1354.

Знайдемо об’єм чавунної кулі:

Нехай г — внутрішній діаметр кулі, тоді

Отже, об’єм порожнистої кулі

4,71 ≈ 0,0073 × 4π(125 - г³);

0,092г³ ≈ 6,751; г³ ≈ 73,38; г ≈ 4,2.

Відповідь: ≈ 4,2.

1355.

Об’єм космічного апарата

Для того, щоб космічний апарат не тонув у воді, треба щоб його маса була менша ніж 4,18 т.

Відповідь: менша ніж 4,18 т.

1356.

Знайдемо масу краплі мильного розчину діаметром 6 мм:

Знайдемо зовнішній об’єм видутої кулі:

Знайдемо внутрішній об’єм видутої кулі:

тоді маса видутої кулі буде

Оскільки маса кулі не змінилася, то маємо:

27 ≈ 3 375 000 — г³ ≈ 3 374 974; г ≈ 149,9999.

Отже, товщина плівки бульки: 150,0000 — 149,9999 ≈ 0,0001 (нм).

Відповідь: 0,0001 нм.

1357.

Оскільки густина води 1 кг/дм³, то для того, щоб куля занурилася в воду тільки на половину, вона мати густину матеріалу 0,5 кг/дм³.

Відповідь: 0,5 кг/дм³.

1358.

Нехай R — радіус кулі, OO₁ = Н. Тоді висота одного сегмента R - Н,

другого R + Н. Отже, маємо:

Додамо до першого рівняння друге, отримаємо: 4R³ = 2916; R³ = 729; г = 9, звідси H = 3.

Отже, O₁B = R + H = 9 + 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

1359.

Нехай SABC — правильний тетраедр, в який вписано кулю з центром в точці О. SO₁┴ (ABC).

З ΔАВС:

З ΔSO₁B:

З ΔASD:

Враховуючи, що

отримаємо:

Оскільки ΔSDO — ΔSOK, то

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1360.

Нехай MABCDN — октаедр, KO = OL = г кулі.

Отже, об’єм кулі

Відповідь:

1361.

Нехай SABCD — задана піраміда, AB = BC = CD = DA = a,

V_sabcd = V, ∠SAO = α.

Позначимо радіус кулі г, висоту SO = Н.

З ΔABD:

З ΔBSO:

SK = 2r; SO + OK = 2г; OK = 2г = H.

ΔSCK — прямокутний. CO ┴ SK,

за властивістю перпендикуляра маємо: CO² = SO × OK.

Отримаємо систему:

Піднесемо перше рівняння до квадрата і підставимо в друге.

H² ctg²α = H(2 г - H); H ctg² α = 2г - H; 2 г = H ctg²α + H;

Отже, об’єм V кулі дорівнює:

Відповідь:

1362.

Нехай SABC — задана піраміда, ∠CSA = α

SO = H, AB = BC = CA = а, SO₁ = O₁A = R.

З ΔSOK: SK² = SO² + KO²,

З ΔAO₁O:

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

Відповідь:

1363.

Нехай ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁— правильна зрізана піраміда.

A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁E₁ = E₁F₁ = F₁A₁ = 3 см,

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 см,

O₁O₂ = = 7 см, O₁O = х, OA = R = ОВ.

Оскільки в основах зрізаної піраміди лежать правильні шестикутники,

то О,А = 3 см, O₂B = 4 см.

З ΔO₁AO: OA² = O₁O² + O₁A², г² = x² + 9.

З ΔO₂ΒΟ: OB² = OO²₂ + O₂B²; г² = (7 — x)² + 16.

Отримуємо систему:

x² + 9 = 49 —14х + x² + 16; 14x = 56; х = 4. Отже, O₁O = 4 (см),

Об’єм кулі, описаної навколо правильної шестикутної піраміди,

Відповідь:

1364.

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда,

OF ┴ SB, SO = R.

З ΔSOF:

ΔSOF — ΔSO₁В (∠O₁SB — спільний).

R²— BO²₁ = 12R² — 36;

З ΔBKO₁:

З ΔОВК: OK² = OB² + BK²;

R⁴= 6R² — 18 + 5R²; R⁴ — 11R² + 18 — 0; R² = 2,

R² = 9, R = 3.

Отже, об’єм кулі V дорівнює:

або

Відповідь: або 36π м³.

1365.

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано кулю з центром в точці O₁. S_SCD = ⁼ S_ABCD ,AB = BC = CD = DA = а.

ASCD — рівнобедрений, SL ┴ DC.

S_ABD =AD × DC = а²;

З ΔSOL:

(як дотичні, проведені з однієї точки до кулі);

ΔSOL — ΔSO₁P. З подібності трикутників маємо:

звідси

Об’єм кулі V₁ дорівнює

Об’єм піраміди V₂дорівнює:

Відповідь:

1366.

Нехай ABCD — осьовий переріз зрізаного конуса, в який вписано кулю з центром в точці О, AK = у, DL = x. AK = AM = у (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). DL = DM = х (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). ΔAOD — прямокутний, OM ┴ AD. За властивістю висоти, проведеної з прямого кута MO² = AM × MD = y × х. DN = DL = NL = х - у.

З ΔADN:

За умовою

(1 + cos φ)²+ 1 - cos²φ + (1 — cos²φ) = 2m(1 — cos²φ);

1 + 2 cos φ + cos² φ + 1 — cos²φ + 1 — 2 cos φ + cos²φ = 2m(1 — cos²φ);

3 + cos²φ = 2m — 2m cos²φ; cos²φ(1 + 2m) = 2m —3.

Відповідь:

1367.

Нехай ABCD — осьовий переріз зрізаного конуса., в який вписано кулю радіуса R, BK = х, AL = у. BK = х, AL = у.

Нехай V₁— об’єм зрізаного конуса, V₂ — об’єм кулі.

З ΔABD:

Нехай тоді 1 — t = = (1 + t) × cos φ;

1 — cos φ = (1 + cos φ) × t;

1 — 2 cos φ + cos²φ + 1 — cos²φ + 1 + 2 cos φ + cos²φ = 2k — 2k cos²φ;

3 + cos²φ = 2k — 2k cos²φ; cos²φ(1 + 2k) = 2k - 3;

Отже,

Відповідь:

1368.

Нехай H — висота частини кулі, яка виступає над водою,

тоді

90πH² — 5πH³ = 1296р; 5H² — 90H² + 1296 = 0,

Розв’язавши це рівняння, отримаємо H ≈ 4дм.

Відповідь: ≈ 4 дм.

1369.

Нехай ребро куба дорівнює а. Якщо шар дотикається двох прямих, що перетинаються, то центр його лежить на площині, яка перпендикулярна до площини цих прямих і проходить через їх бісектрису. Звідси зрозуміло, що центр кулі лежить в центрі куба.

Цей куб виступає з куба шістьома сегментами, кола основи яких вписані в квадрати граней куба.

Звідси маємо радіус кулі висота сегмента радіус

кола основи сегмента отже, об’єм сегменту:

Отже, об’єм спільний кулі і куба, дорівнює:

Об’єм куба

Відповідь:

1370.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— куб. Розглянемо переріз куба, який проходить через точки O₁, E, F. Нехай сторона куба дорівнює а, радіус кулі R, тоді O₁O₂ = а,

ОО₂ = а — R.

3 ΔOFO: OF² = OO₂ + O₂F²;

4R² = 4а² — 8аR + 4R² + а²; 8аR = 5а²;

Відповідь: 384 : 125π.