Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 30. Об’єм прямої призми і циліндра

1158.

Нехай ABCA₁B₁C₁ — призма, AB = BC = AC, AC₁ = d, ∠C₁AC = α.

З ΔC₁AC: C₁C = AC ₁ × sin α = d × sin α; AC = AC₁ × cos α = d × cos α.

Знайдемо

Відповідь:

1159.

Нехай AA₁D₁D — переріз заданої призми, S_AA1D1D = 4 см². KL —відстань між протилежними бічними гранями. KL = 4 см, OK = OL — радіус вписаного кола. OK = OL = 2 см. Звідси сторона шестикутника

QA = OD — радіус описаного кола.

Отже, S_AA1D1D = AA₁ × AD;

Знайдемо площу основи:

Отже,

1160.

Нехай ABMK — площина, проведена через більшу основу трапеції,

D₁K = KD, S_ABMK = 49 см ², AB = 10 см, DC = 6 см.

Проведемо KL ┴ AB, DL ┴ AB, ∠KLD = 30°.

Розглянемо ABMK:

8KL = 48; KL = 6 (см).

З прямокутного Δ KLD:

DD₁ = 2KD = 2 — 3 = 6 (см).

Тоді об’єм

Відповідь:

1161.

Нехай AB₁C₁D — переріз прямого паралелепіпеда, AD = a, ∠C₁DC = α,

S_AB1C1D =S; S_AB1C1D = AD × C₁D; S = а × C₁D;

З ΔC₁CD:

Тоді об’єм прямого паралелепіпеда V дорівнює:

Відповідь:

1162.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— дана призма, в якій ABCD — ромб, AC₁ = d, ∠C₁AC = α, ∠B₁DB = β.

З ΔC₁AC: C₁C = AC₁× sin ∠C₁AC = d sin α; AC = AC₁× cos α = d cos α.

3 ΔB₁DB оскільки B₁B = C₁C, то BD = BB₁ × cos β = d sin α × cos β.

Отже об’єм призми V дорівнює:

V = S_ABCD× B₁B = d² cos α × sin α × cos β × d sin α = d³ sin² α × cos α × cos β. Відповідь: d³ sin²α × cos α × cos β.

1163.

Оскільки куля вписана в прямокутний паралелепіпед, то ребро куба дорівнює 2г, і звідси випливає, що об’єм прямокутного паралелепіпеда V дорівнює:

V = S_ABCD × AA₁ = a² × 2r = 2a²r.

Відповідь: 2а²г.

1164.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямий паралелепіпеді ∠BAD = α.

Висота паралелепіпеда співпадає з висотою циліндра, вписаного в паралелепіпед. BB ₁ = OO₁= h.

Проведемо BL ┴ AD. BL = 2r.

З ΔABL: AD = AB.

Знайдемо

Отже об’єм паралелепіпеда V дорівнює:·

Відповідь:·

1165.

Нехай ABCDA₁В₁C₁D₁ — пряма призма, AB = 13 см, BC= 14 см, AC = 15 см.

Знайдемо площу трикутника ABC, скориставшись формулою Герона:

де а, b, с — довжини сторін трикутника, а

Радіус кола R описаного навколо ΔABC збігається з радіусом кулі.

KL = 2R = AA₁ = 16,25.

Отже об’єм V призми дорівнює: V = S_ABC× AA₁ = 84 × 16,25 = 1365 (см³). Відповідь: 1365 см³.

1166.

Викопана канава буде мати форму прямого паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AD = 3 м, BC = 2 м, BK — висота, BK = 1,5 м.

AA₁= 200 м.

Для того щоб знайти, скільки кубометрів ґрунту доведеться вийняти, треба знайти об’єм паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Знайдемо

Отже, об’єм паралелепіпеда V = S_ABCD × AA₁= 3,75 × 200 = 750 (м³).

Відповідь: 750 м³.

1167.

Залізничний насип має форму паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AB = 18 м, CD = 8 м, CK — висота, CK = 3 м. BB₁ = 1 км.

Для того щоб знайти об’єм 1 км насипу, треба знайти об’єм прямого паралелепіпеда ABCDA₁В₁C₁D₁.

Знайдемо площу основи:

Отже, об’єм паралелепіпеда V = S_ABCD × BB ₁ = 39 × 1000 = 39 000 (м³).

Відповідь: 39 000 м³.

1168.

Нехай ABCD — осьовий переріз циліндра, AC = d, ∠CAD = α.

З ΔACD: CD = AC × sin ∠CAD = d × sin α; AD = AC × cos ∠CAD = d × cos α.

Знайдемо об’єм циліндра: V = πR²H, де

H = CD = d × sin α·.

Отже,

Відповідь:

1169.

Нехай ABCD — розгортка бічної поверхні циліндра, ABCD — квадрат,

AB =1,8 дм. Висота H циліндра дорівнює АВ. Знайдемо радіус циліндра R.

З умови AD = 2πR, або 2πR = 1,8, звідси

Отже, об’єм циліндра

Відповідь:

1170.

Нехай в правильній трикутній призмі основою є рівносторонній трикутник,

AB = BC = AC = а, r — радіус основи вписаного в призму циліндра,

R — радіус основи описаного навколо призми циліндра.

Виразимо сторону AABC через радіус вписаного і описаного кіл.

Висота вписаного, описаного циліндра і бічне ребро призми збігаються,

O₁O₂ = AA₁ = h.

Отже, об’єм циліндра, вписаного в призму:

Об’єм циліндра, описаного навколо призми:

Відповідь: 1 : 4.

1171.

Нехай вимірами першого циліндра є R₁— висота основи,

H₁— висота, а другого R₂ — радіус основи, H₂ — висота.

Тоді S_1бічн. = 2πR₁× H₁, S_2бічн. = 2πR₂× H₂.

За умовою S₁= S₂, отже, 2πR₁H₁ = 2πR₂H₂,

R₁H₁ = R₂H₂. V₁ = π R₁²H₁, V₂ = πR₂²H₂.

Знайдемо

Твердження доведено.

1172.

Нехай ABCD і CDEF — площини, які перетинають циліндр.

S_ABCD = S_CDEF = 30 см ², AB = 5 см.

AD ┴ CD, FD ┴ CD, отже, ∠ADF — лінійний кут між площинами

(ABCD) ┴ (CDEF). ∠ ADF = 120°.

S_ABCD = AB × AD; 30 = 5 × AD; AD = 6 (см).

Розглянемо чотирикутник ΔDFO.

∠ADF — вписаний кут, ∠AOF — центральний кут.

отже, ∠AOF = 240°. Тоді ∠AOF = 360° — 240° = 120°, AO = FO, отже, ADFO — ромб, AO = OF = AD = DF = 6 см.

Звідси об’єм циліндра V = π × AO²× AB = π × 36 × 5 = 180 (см³).

Відповідь: 180 см³.

1173.

Нехай ABCD — переріз циліндра, AD ‖ OO ₁,

Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = πR²H, де R = ОА, H = AD,

S_ABCD = S.

Проведемо OK ┴ AB, OK = d.

∠ OA - центральний кут, отже ∠BOA = α.

В рівнобедреному Δ AOB OK — висота, а також і бісектриса,

отже, ∠KOA = —, 2

Отже,

Відповідь:

1174.

Нехай ABCD — квадрат — переріз циліндра, AD ‖ OO₁, OA = r,

Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = Πr²Н, де R = OA = r, H = AD.

∠BOA — центральний кут, отже, ∠BOA = β.

З ΔAOB за теоремою косинусів знайдемо AB:

ABCD —квадрат, отже,

Отже,

Відповідь:

1175.

Нехай d — діаметр циліндричної посудини, d = 20,

h — висота рідини у посудині.

Об’єм рідини у посудині знайдемо за формулою

Об’єм рідини разом з деталлю: V₂ = π × 100 × (h + 12) = 100πh + 1200π,

Отже, об’єм детaлі V = V₂— V₁ = 100πh + 1200π — 100π = 1200π.

Відповідь: 1200π.

1176.

Нехай l — довжина колоди, 2 x₁— радіус однієї колоди, 3х — радіус другої колоди.

Об’єм першої колоди V₁ = π4х²l, об’єм другої колоди V₂ = п9х²l.

Відповідь.

1177.

Оскільки з точки зору геометрії кругова пляма на поверхні моря представляє собою циліндр, то його об’єм V = πr²× h, де г² — радіус циліндра, h — висота,

h = 1 мм.

Отже, 1 = πr² × 0,001, звідси

Відповідь: 1000 м².

1178.

Нехай h = 16 дм — рівень рідини у першій посудині, г — радіус першої посудини, h₁ — у другiй. V₁— об’єм першої посудини, V₁= πr²× 16 = 16πr²,

V₂— об’єм другої посудини, V₂ = π(2г)² × h₁ = 4πr² × h₁. V₁ = V₂, 16πг² = 4πг2h,

h₁ = 4 (дм).

Відповідь: 4 дм.

1179.

3 точки зору геометрії сталевий дріт являє собою циліндр діаметром 6 мм.

Маса дроту визначається за формулою: m = ρ × V, де F — об’єм циліндра,

ρ — густина сталі. 30 = 7600 × π × 0,000009 × H.

Звідси

Відповідь: ≈ 140 м.

1180.

Знайдемо об’єм панелі, яка з точки зору геометрії являє собою паралелепіпед. V₁ = 6 × 1,2 × 0,22 = 1,584 (м³).

Знайдемо об’єм циліндричного отвору:

V₂ = π × 0,07² × 6 = 3,14 × 0,0049 × 6 = 0,092.

Об’єм шести отворів: 6 × 0,092 = 0,552.

Отже об’єм V плити без циліндричних отворів: 1,584 — 0,552 = 1,032.

Маса панелі m = ρ₁V = 2,5 × 1,032 = 2,58 (т).

Відповідь: 2,58 т.

1181.

Знайдемо об’єм труби газопроводу.

Для цього знайдемо V₁ = π × 0,71² × 4 450 000 = 7 043 789 (м³).

Знайдемо радіус полої частини труби: r = 0,71 — 0,011 = 0,689 (м), отже,

об’єм полої частини труби: V₂ = π × 0,689² × 445 000 = 6 663 277 (м³).

Знайдемо об’єм труби газопроводу V₃:

V₃ = V₁ — V₂ = 7 043 789 — 6 633 277 = 410 521 (м³).

Отже, на спорудження газопроводу пішло 7600 × 410 512 = 3 119 891 (т) сталевих труб.

Відповідь: 3 119 891 т.

1182.

З точки зору геометрії рулон паперу являє собою циліндр, OO₁ = 85 см,

OA = 45 см, OB = 2 см.

Знайдемо V₁ = π × AO²× OO₁ = π × 2025 × 85 = 172 125π (см³).

V₂ = π × OB² × OO₁ = π × 4 × 85 = 340π (см³).

Знайдемо об’єм рулону паперу.

V = V₁ — V₂ = 172 125π —340π = 171 785π ≈ 539 405 (см³).

Оскільки товщина паперу 0,1 мм або 0,01 см, то в рулоні

539 405 : 0,01 = 53 940 500 (см³) ≈ 5394 (м³).

Відповідь: ≈ 5394 м³.

1183.

V _прута = V _призми — V _{циліндра}

V _призми = 24² × 2000 = 1 152 000 (мм³)

V _{циліндра} = π × 8²× 2000 = 128 000π = 401 920 (мм³).

V _прута = 1 152 000 — 401 920 = 750 080 (мм⁸) = 0,75 (дм³).

Відповідь: 0,75 дм³.

1185.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— прямокутний паралелепіпед.

AB = m, AD = n, ∠BAD = 60°, B₁D = АС.

З Δ ABD за теоремою косинусів маємо:

ABCD — паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

AC² + Bi)² = 2(АВ² + AD²); AC² + m² + n² — mn = 2(m² + n²);

AC² + m² = n² — mn = = 2m² + 2n²; AC² = m² + n² + mn.

За умовою B₁D =AC.

З Δ B₁DB:

Отже, об’єм паралелепіпеда

Відповідь:

1186.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— заданий паралелепіпед, кожне ребро якого дорівнює

1 см, AC = 2 см.

З Δ AC₁C:

Зa властивістю діагоналей ромба маємо:

2(АВ² + BC²) = AC² + BD²; 2(1 + 1) = 3 + BD²; BD² = 1; BD = 1 (см).

Отже, об’єм паралелепіпеда V дорівнює:

Відповідь:

1187.

Нехай ABCA₁B₁C₁— задана призма. S_ABC = 24 см²,

S_AA1B1B = 3 см ², S_B1BCC1 = 4 см ², S_C1CAA1 = 5 см ², AB = a,

BC = b, CA = c, BB₁ =H,

S₁ = AB × H = а × H = 3; S₂ = BC × H = b × H = 4;

S₂ = AC × H = с × H = 5;

Оскільки а² + b² = с², тобто

то ΔABC — прямокутний.

24H² = 6;

Отже, об’єм призми V дорівнює:

Відповідь: 12 см³.

1188.

Нехай ABCDEA₁B₁C₁D₁— задана призма з ребром а. Об’єм правильної п’ятикутної призми знайдемо за формулою:

V = S_осн. × H, де S_осн. = S_ABCD, H = а.

Отже,

Відповідь:

1190.

Нехай ABCA₁B₁C₁— задана призма, AB = BC = CA. Проведемо площину через вершину A₁і сторону BC. Отримана площина (A₁BC) — рівнобедрений трикутник. Проведемо A₁K ┴ ВС, AK ┴ ВС, тоді ∠A₁KA = 60°.

Проведемо AL ┴ (A₁BC), AL = d.

З ΔALK:

З ΔAA₁K:

Нехай в ΔАВС: AB = BC = CA = а, тоді з ΔАВК:

AB²— BK² = AK², звідси

Отже, об’єм V призми дорівнює:

Відповідь:

1191.

Нехай A₁— висота піраміди, S₁ — площа основи піраміди, h₁ = 8 см,

S₁ = 12 см²; h₂— відстань від вершини до перерізу, S₂— площа перерізу. Проведемо переріз піраміди площиною паралельною основі. Оскільки площа перерізу і площа основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершин, то отримаємо: 64S₂ = 48;

Отже, об’єм призми дорівнює

Відповідь: 4,5 м³.

1192.

Нехай ABCDE F A₁B₁C₁D₁E₁F₁ — задана шестикутна призма.

Нехай AB = BC = CD = DE = EF = FA = a, AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ = EE₁ = FF₁ = Н.

Знайдемо об’єм призми V:

Оскільки об’єми двох частин відносяться як 1 : 3, то

V₁— об’єм першої частини дорівнює:

звідси S₁—- площа основи дорівнює

V₂— об’єм другої частини:

звідси S₂— площа основи другої частини дорівнює

Отже,

Відповідь:

1194.

а) Знайдемо об’єм циліндра. V = πr²h, де г — радіус основи.

З ΔAB₁B: AB = h × ctg φ, тоді

Отже,

Об’єм фігури на рисунку

Відповідь:

б) Знайдемо об’єм циліндра з вимірами, зображеними на рисунку. V = πr²h.

Для фігури, зображеної на рисунку, маємо:

Звідси

Відповідь:

1195.

Нехай ABCA₁B₁C₁— задана призма. B₁AC — переріз, S_B1AC = Q,

AB = BC = AC = а. Проведемо BK ┴ AC, B₁K ┴ АС, тоді ∠ B ₁KB = α.

З Δ АВK:

З AB₁B₁K:

Знайдемо радіус основи:

Знайдемо об’єм циліндра

1196.

Нехай ABCD — квадрат, AB = BC = CD = DA = α, DF = А,

З ΔADF:

З ΔABF:

Отже, знайдемо об’єм циліндра

Відповідь:

1197.

Нехай ABCD — переріз, (ABCD) ‖ OO₁. . ∠DOA — центральний кут, ∠DOA = 60°, QA = г, OO₁ = А.

Знайдемо об’єм циліндра V = π × OA²× OO₁² = πr²h.

Для першої частини циліндра маємо: де V — об’єм частини 1.

Звідси

Для другої частини циліндра маємо: де V — об’єм другої частини. Звідси

Знайдемо

Відповідь: