Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 21. Паралелепіпеди

748.

Нехай дано ABDCA₁B₁D₁C₁— прямий паралелепіпед; K, L, М — середини ребер АВ, Α₁Β₁, В₁C_1.

Проведемо МР ‖ LK, KLMP — переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки K, L, М. KLMP — прямокутник.

LK ┴ AB, LM ‖ KР, LK ‖ МР.

Площа KLMP = LK × КР, LK = АА₁ = 3.

ΔLKM — прямокутний, LM²= KМ² - LK² = 25 - 9 = 16;

S_пер.=3 × 4 = 12 (см²).

Відповідь: 12 см².

749.

Нехай дано похилий паралелепіпед ABDCA₁B₁D₁C_1, Μ — середина ребра АА₁. З’єднаємо точки M і D, вони належать площині ΑΑ₁D₁.

З’єднаємо точки М і В, вони належать площині АА₁В₁.

ΔMDB — переріз, який проходить через точки M, D, В.

750.

Нехай дано паралелепіпед ABDCA₁B₁D₁C_1. Переріз проходить через середини ребер AB, DC, ВВ₁. Μ — середина ребра AB, N — середина ребра CD. Р — середина ребра ВВ₁. З’єднаємо точки M і Р, М і N (ці точки лежать в одній площині). Через точку Р проведемо пряму РК ‖ MN. MPKN — переріз.

а) якщо паралелепіпед прямокутний, то цей переріз є прямокутником;

б) якщо прямий, то переріз — паралелограм;

в) якщо похилий, то переріз — паралелограм.

751.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, виміри якого АВ = 3 см, ВС = 4 см,

ВВ₁ = 5 см. Грань ABCD має найменшу площу. ∠D₁BD — кут нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини ABCD.

BDB₁D₁ — квадрат. Отже, ∠DBD₁ = 45°, ∠DBB₁ = 90°, BD₁ — бісектриса прямого кута.

Відповідь: 45°.

752.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед. Його діагональний переріз — квадрат. BD = В₁В = с, тоді а² + Ь² = с².

Відповідь: а² + b² = с².

753.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, у якого S_ABCD= 42 см²; S_BB1C1C = 79 см²;

S_AA1B1B = 84 см²·

Нехай виміри прямокутного паралелепіпеда АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

За умовою маємо:

Відповідь: 6 см, 7 см, 12 см.

754.

Нехай дано прямий паралелепіпед, сторони його основи AD = 2,3 м; АВ = 1,1 м; ∠ВАD = 60°; АА₁ = 1 м.

ABCD — паралелограм, BD² = АВ² + АD² — 2АВ × АD × cos 60° (за теоремою косинусів).

AA₁C₁C — діагональний переріз.

ВВ₁D₁D — діагональний переріз.

Відповідь:

755.

Нехай дано прямий паралелепіпед, всі ребра якого дорівнюють а;

АВ = ВС = DС = АD = АА₁ = а. ∠DАВ = 60°. Знайдемо діагоналі основи ABCD.

ΔABD — рівносторонній. АВ = AD = ВD = а.

ΔDD₁В — прямокутний, ∠D₁DB = 90°;

ΔАСС₁ — прямокутний, ∠С₁СА = 90°.

AC₁ = 2а.

Відповідь:

756.

Нехай дано прямий паралелепіпед, сторони основи якого 6 см і 8 см, а одна з діагоналей основи Бічне ребро АА₁ = 5 см,

Знайдемо діагональ АС основи.

AC² + BD² = AD² + DC² + BC² + AB²

АС² + 56 = 72 + 64 + 64; АС² = 144; АС = 12.

ΔACC₁ — прямокутний, ∠ACC₁ = 90°;

АС₁ = 13 см.

ΔBDD — прямокутний, ∠D₁DB = 90°.

BD₁= 9 см.

Відповідь: 9 см і 13 см.

757.

Нехай дано прямий паралелепіпед, основою якого є паралелограм зі сторонами АВ= 3 см, AD = 5 см, ∠DAB = 60°, S_{перерізуAA1C1C} ⁼ 42 см² — площа більшого діагонального перерізу. Знайдемо більшу, діагональ основи.

АС² = АВ² + ВС² - 2АВ × ВС × cos 120° (за теоремою косинусів).

S_{перерізуAA1C1C} = AC × C₁C; 42 = C₁C × 7; C₁C = 6 см;

S_повне = 2S_осн. + S_бічн.

S_бічн. = P_осн. × АA₁ = (3 + 5) × 2 × 6 = 96 (см²).

Відповідь:

758.

Нехай дано прямий паралелепіпед, в основі якого лежить ромб ABCD.

AB = ВС = CD = AD = a; S_{перерізуAA1C1C} = 9 см²;

S_{перерізуDD1B1B} = 12 (см ), S_{бічн.парал.} = P_ABCD × CC₁,

де = P_ABCD периметр ромба, CC₁ — висота паралелепіпеда.

Нехай АС = d₁, BD = d₂, d₁ = Зх; d₂ = 4х;

Δ ВОС — прямокутний. BO ┴ ОС;

ВС = 5x; S_бічне = P_осн. × h = 20x × h; Saa₁c₁c = АС × C₁C = 6x × h;

9 = 6х × h;

Відповідь: 30 см².

759.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагоналі бічних граней утворюють з площиною основи кути 30° і 45°. Діагональ ВС₁ утворює з площиною основи

∠C₁ BC = 30°. Діагональ А₁В утворює з площиною основи ∠Α₁ΒΑ = 45°.

ΔΑ₁АВ — прямокутний рівнобедрений.

Нехай А₁А = АВ = а. ΔС₁СВ — прямокутний, ∠C₁BC = 30°.

С₁C = а; ΔABD — прямокутний.

BD² = АВ² + AD² = а² + 3а² = 4а²; BD = 2а.

Розглянемо ΔDD₁В,

∠DBD₁ = arcctg2.

Відповідь: arcctg2.

760.

Нехай дано прямий паралелепіпед, у якого сторони основи дорівнюють

АВ = 7 см, ВС = 17 см. Діагональ BD₁ утворює з площиною основи ∠D₁BD = 30°.

Діагональ А₁С утворює з площиною основи кут ∠A₁CA = 45°,

ΔA₁AC — прямокутний. ∠A₁AC = 90°. АС = А₁А = a.

ΔDD₁В — прямокутний. DD₁ = a; BD₁ = 2а; BD² = 4а² - а² = 3а²;

За властивістю діагоналей паралелограма маємо: АС² + DB² = 2AD² + 2АВ²;

а² + 3а² = 17² + 17² + 7² + 7²; 4а² = 289 × 2 + 49 × 2; 4а² = 578 + 98; 4а² = 676;

а² = 169; а = 13. BD₁ =2 × 13=26см;

Відповідь: 26 см і

761.

Нехай рано прямокутний паралелепіпед, діагональ основи якого дорівнює

АС = l і утворює зі стороною основи ∠CAB = α, а з діагоналлю паралелепіпеда АС₁ ∠C₁AC = β. S_{бічн.пар.} = Р_осн. × h, де Р_осн. = 2АВ + 2АС. h = CC₁.

ΔАВС — прямокутний. АВ = l × cos α; ВС = l sin α;

Р_осн. = 2l cos α + 2l sin α = 2l(sin α + cos α).

ΔACC₁ — прямокутний, СС₁ = l × tg β. S_бічн. = 2l² tg β(sin α + cos α).

Відповідь: 2l² tg β(sin α + cos α).

762.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, у якого

DB₁ = 6 см, DB = 5 см, ВС₁ = 4 см.

ΔDBB₁ — прямокутний. ∠DBB₁ = 90°;

ΔCC₁B — прямокутний, ∠BCC₁= 90°;

ABDC — прямокутний, DC² = ВD² - ВС² = 25 - 5 = 20;

Відповідь: 10 см².

763.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, d₁ — діагональ грані A₁B₁C₁D₁; d₂— діагональ грані ВВ₁С₁C; d₃— діагональ грані АА₁В₁В; d — діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Нехай АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

d² = а² +b² + с², звідки d² = 0,5(d₁² + d₂² + d₃²), що й треба було довести.

764.

а) ні; б) ні.

765.

767.

Прямокутний паралелепіпед не можна перетнути площиною так,

щоб у перерізі утворився прямокутний трикутник.

768.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма, у якої АА₁ = 15 см, АВ = 5 см.

ΔΜ₁Μ₂Μ — прямокутний. М₂М = 15; М₁М₂ = 10.

Μ₁М² = 15² + 10² = 225 + 100 = 325;

769.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого дорівнює d,

BD₁ = d і утворює з площиною основи кути

∠DBD₁ = α, а з площиною бічної грані — кут β.

ΔDD₁B — прямокутний, ∠D₁DB = 90°, DD₁ = d × sin α; BD = d × cos α.

ΔD₁С₁В — прямокутний, ∠D₁C₁B = 90°, D₁C₁ = d × sin β. ΔABD — прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: AD² = BD²- AB²= d² cos² α - d² sin β.

S_{бічної поверхні} = P_осн × h, де P_осн = 2AB + 2BC, h = CC₁;

770.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого BD утворює з бічними гранями кути α і β. ∠C₁BD = α, ∠DBA₁ = β.

∠BD₁B₁ = x, кут, який ця діагональ утворює з площиною основи.

Нехай ВВ₁ = d.

ΔBC₁B₁ — прямокутний; B₁C₁ = d × sin α.

ΔΑ₁Β₁Β — прямокутний; A₁D₁ = d × sin β.

ΔA₁D₁B₁ — прямокутний;

ΔD₁Β₁Β— прямокутний.

771.

Нехай дано прямий паралелепіпед, основою якого є ромб ABCD.

BD₁ — діагональ паралелепіпеда, BD₁ = l, ∠DBD₁ = α — кут між діагоналлю l і площиною основи. ∠D₁BC₁ = φ — кут між діагоналлю l і площиною бічної грані. ΔDB₁B — прямокутний. ∠D₁DB = 90°. DD₁ = l × sin α; BD = l × cos α.

ΔBD₁C₁ — прямокутний. ∠BC₁D₁ = 90°; D₁C₁ = І × sin φ.

ΔABD — прямокутний; AD² = BD² - AB²; AD² = l cos² α - l sin² φ;

Відповідь:

772.

Нехай дано прямий паралелепіпед, з основою ABCD, сторони якого AB = 8 см, ВС = 10 см. Діагональ BD₁ = 14 см, діагональ A₁C = 16 см, АС і BD — діагоналі основи паралелепіпеда.

За властивістю діагоналей паралелограма:

АС² + BD² = 2АВ² + 2ВС²; АС² + ВВ² = 2 × 64 + 2 × 100;

АС² + ВВ² - 128 + 200 = 328.

ΔАА₁С — прямокутний;

ΔDD₁B — прямокутний;

АС₁² - BD₁² = 256 - 196;

АС² - BD² = 60.

АС² = 194;

194 = BD²= 60; ВD² = 134;

S_бічн. = P_ABCD× H, де AA₁.

Відповідь:

773.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в якому

DA₁ = 15 см, DC₁ = 13 см. ВК ┴ AD; В₁K ┴ AD;

h₂ ┴ BC; BF ┴ DC; B₁F ┴ DC;

h₁ і h₂ — висоти паралелограма ABCD.

Нехай AA₁ = х, AD = у, DC = z.

х² + у² = 225 ; х² + z² =169 .

ΔΒΒ₁F:

ΔΒ₁BK:

S_ABCD = ВK × AD = BF × DC ;

h₁× y = h₂ × z,

у² = 225 - х²;

(225 - x² )(224 - х²) = (468 - х²) (169 - х²);

54900 - 225х² - 244х² + х⁴ = 79092 - 468х² - 169х² + х⁴ - 225х² - 244х² +

+ 468х² + 169х = 79092 - 54900;

168х² = 24192; х² = 144; х = 12;

12²+ y = 225; у² =225 -144 = 81; y = 9;

144 + z² = 169; z² = 25; z = 5.

S_{бічн.ABCDA1B1C1D1} = P_осн. × H; H = СС₁ = х = 12 см,

де P_осн.= 2(z + y) = 2(9 + 5) = 28 (см).

S_бічн. =28 × 12 = 336 (см²).

Відповідь: 336 см².

774.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Проведемо переріз AB₁C₁D. S_ABCD =12 см²; S_AB1C1D = 20 см²;

S_ABC = AD × AB; AD × AB = 12; S_AB1C1D = AD × AB₁; AD × АВ₁ = 20;

AB₁ = 5x, AB = 3x, тоді ВВ₁ = 4х, BC = AD.

а)

б) AD : DC = 2 : 1. S_ΔA1B1C;

775.

Основою паралелепіпеда є квадрат зі стороною 4 см.

АВ = ВС = CD = AD = 4 см.

Одна з вершин основи В₁ рівновіддалена від вершин другої основи.

В₁B = B₁D = В₁C = В₁A; АА₁ = ВВ₁ = С₁С = D₁D = 3 см.

BD і АС — діагоналі квадрата зі стороною 4 см.

ΔBB₁O — прямокутний.

Β₁Ο = 1 см;

Відповідь:

776.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D_1, у якого основа — квадрат ABCD.

AB = BC = CD = AD = AA₁=BB₁= CC₁ = DD₁ = а.

∠A₁AB = ∠A₁AD = 60°

AA₁ ‖ BB₁ ‖ DD₁ ‖ CC₁.

ABCD — квадрат. BD ┴ АС. О — точка перетину діагоналей квадрата ABCD.

Проведемо OK ┴ А В , A₁K ┴ АВ за теоремою про три перпендикуляри.

ΔAA₁K — прямокутний, ∠Α,ΑΚ = 60°;

отже, проекцією точки А₁ буде точка О.

A₁O ┴ ABCD.

ΔDD₁B — рівнобедрений, за умовою OD = ОВ.

DO — медіана; ОС ┴ BD, отже D₁O ┴ BD,

D₁O — висота; DD₁ = BD₁ = a.

Відповідь: BD₁ = а.

777.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁ , бічне ребро

і утворює зі сторонами рівні кути: ∠A₁AB = ∠A₁AD.

Висота А₁K ┴ АС; A₁K = 2 см;

ABCD — ромб із діагоналями АС = 20 см; BD = 15 см.

S_{повн.ABCDA1B1C1D1} = S_бічне + S_осн.

ΔΑΑ₁Κ: ΑΚ²+ Α²₁K² = Α₁Α²;

ΑΚ = 8,

ΔΑΟΒ — прямокутний,

AB² =AO² + OB²= 100 + 56,25 = 156,25 ; ΑΒ = 12,5 см.

ΔAFK ~ ΔAOB; FK = 4,8;

Α₁F = 5,2 см.

S_бічн. = P_ABCD × A₁F = 4 × 12,5 × 5,2 = 260 (см²).

S _повн. = S_6ічн.+2S_основ. = 260 + 2 × 150 = 560 (см²).

Відповідь: 560 см².

778.

Нехай дано прямий паралелепіпед, в основі якого лежить ромб зі стороною

2 см.

АВ = ВС = DC = AD = 2a;

∠DAB = 30°.

Через сторону основи прямого паралелепіпеда проведено січну площину

ABKN під кутом 60° до площини основи. ∠NFD = 60°.

Відповідь: 4а².

779.

Нехай дано прямий паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Діагональ Β ₁Ο утворює з бічним ребром В₁В кут ∠ΟΒ₁Β = 60°.

В₁D і AA₁ мимобіжні прямі. Β₁D віддалена від AA₁ на АО = 3 см.

AО ┴ ВD; AО ┴ площині DВ₁В; AO ┴ DB.

DВ₁ і АС — мимобіжні прямі. Β₁D віддалена від прямої АС

на відстань ОР = 2 см. ОР ┴ АС; OP ┴ Β₁Ο.

ΔDΒ₁Β — прямокутний, В₁В ┴ ВD, ∠DΒ₁Β = 60°; ∠Β₁DΒ = 30°;

Δ DPO — прямокутний, ∠PDO = 30°;

ΔAOD — прямокутний, AD² = OD² + AO²; AD² = 16 + 9 = 25; AD = 5 см.

ABCD — ромб, BD ┴ AС; BD = 20D = 8 см; AO × 2 = AC = 6 см.

Площа повної поверхні дорівнює:

S_повн. = 2S_осн. + S_{бічн.ABCDA1B1C1D1}

ΔΒ₁ΒD — прямокутний;

Відповідь:

780.

Нехай дано прямокутний паралелепіпед, діагональ BD₁

утворює з його ребрами кути α, β, γ.

A₁D₁ = х; D₁C₁ = у; DD₁ = z; BD₁ = d .

z = d × cos α; у = d × cos γ; x = d × cos β; d² = x² + y² + z²;

d² = d² cos²α + d² cos²β + d² cos²γ.

Поділимо на d²

1 = cos²α + cos²β + cos²γ, що й треба було довести.

781.

Нехай діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з трьома його ребрами кути α, β, γ. а, β, γ — гострі кути прямокутного трикутника, α + β + γ < 180°.

782.

Нехай кожна грань паралелепіпеда — ромб зі стороною а і кутом 60°.

Діагоналі ромба: BD = АВ = AD = а;

У паралелепіпеда чотири діагоналі: AC₁; BD₁; DB₁; А₁С;

Відповідь:

783.

Нехай дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁ .

О — точка перетину діагоналей паралелепіпеда.

Сфера має центр О — у точці перетину його діагоналей,

радіус сфери ОK = r; сума квадратів усіх ребер паралелепіпеда σ.

4a² + 4b² + 4с² = σ.

Нехай М — будь-яка точка сфери.

—

сума квадратів відстаней від будь-якої точки сфери

до всіх вершин паралелепіпеда.

Перша публікація: 01/01/2011

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
редакційне упорядкування змісту;
уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.