Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§12. Паралельне перенесення

410.

411.

A₁(-3; 13; 0).

412.

Початок координат на т. А(1; 1; 2) відображає паралельне перенесення на

а (1; 1; 2), тоді т. Х(2; 3; -1) перейде в т. X₁(3; 4; 1).

413.

в результаті паралельного перенесення т. М(3; -2; 1) відобразиться у

т. М₁(6;-4; 2).

414.

(-2; 3; 0). При паралельному перенесенні ΔABC на одержимо ΔA₁B₁C₁,

А₁(0; 5; 2); В₁(-3; 3; 3); С₁(-2; 3; 1).

415.

а) т. А на т. В відображає вектор Цей вектор відображає т. М(А; 6; 2) на

т. N(6; 1; 5), існує паралельне перенесення;

б) т. А на т. В відображає вектор а т. М на т. N — вектор

Отже, не існує такого паралельного перенесення, яке одночасно відображає

т. А на т. В, а т. М — на т. N.

416.

Не можна.

417.

Не можна.

418.

Будь-який вектор, початок якого на одній прямій, а кінець — на другій, із паралельних прямих при паралельному перенесенні переведе одну пряму в іншу. Таких паралельних перенесень безліч.

419.

а) Сторона АВ при паралельному перенесенні на перейде в протилежну сторону DC;

б) паралельного перенесення, яке відображає, сторону рівностороннього трикутника на другу його сторону, не існує.

420.

Не завжди. Можна, якщо паралельні відповідні стоpони.

421.

При паралельному перенесенні перейде в В₁C₁, причому ВС = В₁С₁, аналогічно CD = С₁D₁, BD = В₁С₁, тоді ΔBCD = ΔB₁C₁D₁, звідси ∠С = ∠C₁. Аналогічно доведемо, що ∠А = ∠А₁; ∠В = ∠B₁; ∠D = ∠D₁.

У ABCD і A₁B₁C₁D₁ всі відповідні елементи рівні, тому А₁B₁С₁D₁ = ABCD.

422.

При паралельному перенесенні відрізок відображається у рівний відрізок,

тому A₁D₁ = AD, ΔАСВ = ΔA₁C₁Β₁, тому радіус кола, описаного навколо

ΔАСВ, дорівнює радіусу кола, описаного навколо ΔA₁С₁D₁, звідси АО = A₁Ο₁.

У ΔАСВ і ΔA₁С₁B₁ висоти АK і А₁K₁ рівні, до того ж О ϵ АK, у ΔCDB і ΔС₁D₁B₁

висоти DK і D₁K₁. Звідси рівні ΔADK = ΔA₁D₁K₁, тому ∠DAK = ∠D₁A₁K₁

або ∠DAO = ∠D₁A₁O₁.

Тоді ΔADO = ΔA₁D₁O₁, (АD = А₁D₁, AО = A₁O₁, ∠DAO = ∠D₁A₁O₁).

Із рівності трикутників: DO = D₁O₁.

423.

При паралельному перенесенні на тетраедр РАВС відобразиться в тетраедр P₁BB₁С₁.

424.

В результаті паралельного перенесення на куб AВСDA₁В₁С₁D₁ перейде в куб A′В′С′D′A′₁В′₁С′₁D′₁. Точки B ₁, і А′ ₁; С ₁ і D′ ₁; С і D′; А′ і В — збігаються.

425.

Нехай Р — довільна точка прямої а.

При паралельному перенесенні т. Р перейде в т. Р₁.

Нехай тоді

Тоді через т. Р проходить пряма а ‖ АВ і РР₁ ‖ АВ. Але через точку можна провести лише одну пряму, паралельну даній, тому припущення, що невірне. Отже, Р₁ ϵ а.

Тобто образ будь-якої точки прямої а лежить на прямій а. Тому пряма а перейде сама в себе при паралельному перенесенні в напрямку, паралельному даній прямій.

426.

Виберемо в площині а дві паралельні прямі а і b. Напрям перенесення

тоді При паралельному перенесенні на пряма а перейде сама в себе,

пряма b перейде сама в себе. Тоді площина а перейде сама в себе, бо через дві паралельні прямі можна провести лише одну площину.

427.

Нехай паралельне перенесення на а пряму а відображає на пряму b.

Т. А ϵ а; т. В ϵ а. При паралельному перенесенні т. А перейде в А ₁;

т. В перейде в В₁, А ϵ а; В ϵ b.

АА₁ ‖ а, ВВ₁ ‖ а, звідси АА ₁ ‖ BB₁,

звідси │AA₁│ = │ВВ_1│.

Чотирикутник АВВ ₁А ₁ — паралелограм.

Тому АВ ‖ А₁В₁, звідси a ‖ b .

428.

Виберемо в площині α дві прямі, що перетинаються. При паралельному перенесенні на а пряма с відобразиться в с₁; пряма b — в b₁; причому с ‖ с₁; b ‖ с₁. Через с₁ і b₁, проведемо, площину β. Площина α перейде в площину β, причому α ‖ β, бо дві прямі, які перетинаються в площині α, відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються в площині β.

429.

При паралельному перенесенні пряма b відображається на пряму а, тому b ‖ а; тому, пряма b нахилена до площини α під тим самим кутом, що й пряма а, тобто під кутом 30°;

430.

а) ΔАBС = ΔA₁В₁С₁;

б) існує.

431.

Існує, відрізок АВ відображається на А₂В₂ при паралельному перенесенні на АА₂.

432.

m ‖ n; m = n.

Якщо m i n паралельні площині проектування, то їх проекції дорівнюють цим відрізкам, а оскільки відрізки рівні, то і проекції рівні.

Якщо m і n не паралельні площині проектування, то їх проекції дорівнюють mcosφ і ncosφ, оскільки m = n, і утворюють однаковий кут із площиною проектування, то mcosφ і ncosφ — рівні. Тобто проекції відрізків m I n рівні.

433.

При паралельному перенесенні куб AВСDA₁В₁С₁D₁ перейде в куб A′В′С′D′A′₁В′₁С′₁D′₁. Найбільша відстань буде між точками А і С′₁.

При паралельному перенесенні зберігається паралельність, тому АС₁ перейде в А′С′₁, причому АС₁ ‖ А′С′₁. АС₁ і А′С′₁; мають спільну точку, тому вони лежать на одній прямій.

АС₁ = А′С′₁, тому

434.

Якщо А(1; -2; 3) переходить у т. В(2; 4; -1). тоді паралельне перенесення відбувається на

а) т. М симетрична т. А( 1; -2; 3) відносно початку координат, тому М(-1; 2; -3), при перенесенні на т. М перейде в т. M₁(0; 8; -7);

в) т. М симетрична т. А(1; -2; 3) відносно площини (yoz), тому М(-1; -2; 3); при перенесенні на т. М перейде в т. M₁(0;4;-1);

г) т. М симетрична т. А(1; -2; 3) відносно осі ОХ, тому М( 1; 2; -3); при перенесенні на т. М перейде в т. М₁(2;8;-7).

435.

При паралельному перенесенні на т. А(3; -2; 1) перейде в т. A₁(4;-3; 3), а т. B(1; 4; -2) в т. B₁(2; 3; 0).

Пряма АВ перейде в пряму А₁В₁.

Пряма А₁В₁ задається рівнянням:

або

436.

у даній площині виберемо довільну точку Р(-1; -3; 0). При паралельному перенесенні на s(2; -1; 3) точка Р перейде в P₁(1; -4; 3). Оскільки при паралельному перенесенні площина відображається у паралельну площину, то потрібно написати рівняння площини, яка проходить через точку т. Р₁(1; -4; 3) паралельно площині

х + у — 2z + 4 = 0. Тобто 1(х - 1) + 1(у + 4) - 2(z - 3) = 0; x -1 + y + 4 - 2z + 6 = 0;

х + y — 2z + 9 = 0.

437.

а)

При паралельному перенесенні на тетраедр ABCD

перейде в тетраедрOB₁С₁ D₁.

б)

При паралельному перенесенні натетраедр ABCD

перейде в тетраедр A₁B₁C₁D₁.

в)

При паралельному перенесенні на тетраедр ABCD

перейде в тетраедр MB₁C₁D₁.

438.

а) При паралельному перенесенні наабо або

перетином даного куба і його образу буде квадрат;

б) при паралельному перенесенні на

перетином даного куба і його образу буде точка;

в) при паралельному перенесенні на

де К — середина AD або середина АВ

перетином даного куба і його образу буде прямокутний паралелепіпед;

г) при паралельному перенесенні на

де Z — середина АС₁, перетином даного куба і його образу буде куб.