Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Завдання 17

1.

Відстань, яка б відділяла мене від мого антипода дорівнювала б

двом радіусам Землі.

Відповідь: 2R Землі.

2.

Нехай АО — радіус Землі, ОА = 6400 км, О₁А - радіус Полярного кола Землі.

Координати Полярного кола Землі 66°31′ п.ш.

∠АОВ = 66°31'; ∠О1ОА = 90° - 67° = 23°.

З ΔO₁ОA: Ο₁Α = ОА sin ∠Ο₁ΟΑ = 6400 × sin 23° = 6400 × 0,39 = 2496 (км).

Довжина Полярного кола С = 2π × О₁А ≈ 2 × 3,14 × 2496 = 15 675 (км).

Відповідь: 15 675 км.

Нехай ОА — радіус Землі, ОА - 6400 км.

Координати міста Харків 50° п. ш.

∠АОВ = 50°, ∠O₁ОA = 90° - 50° = 40°.

З ΔOO₁A: О₁А = ОА × sin 40° = 6400 × 0,64 = 4096 (км).

Шлях С, який проходить за добу місто Харків, дорівнює:

С = 2π × Ο₁Α ≈ 2 × 3,14 × 4096 = 25 723 (км).

Відповідь: 25 723 км.

Найбільшим колом земної кулі є екватор.

1) Нехай AM = MB, OB = ОА — радіус сфери. Розглянемо ΔSABO: ОВ = ОА — як радіуси кулі, отже, ΔАОВ - рівнобедрений. AM = MB, отже, ОМ — медіана, а в рівнобедреному трикутнику медіана є і висотою. Отже, ОМ ┴ АВ.

2) Нехай ОА і О В — радіуси сфери. Розглянемо АОАВ: ОА = ОВ, отже, АОАВ — рівнобедрений, ОМ ┴ АВ, а оскільки АОАВ — рівнобедрений, то он є медіаною.

Звідси AM = MB.

Нехай ОА = OB = R, AM = MB.

1) R = 15 см, AB = 18 см. ОМ ┴ AB; OB = R = = 15 см.

З Δ OMB:

2) R= 10 дм, OM = 60 см. AB = 2AM; AO = R = 10 дм.

З Δ АМО: АВ = 2AM = 2 × 8 = 16 (см).

3) R = а, ОМ = b, OA = R = а. З Δ АМО:

Відповідь: 1) 12 см; 2) 16 см; 3)

7.

Нехай АВ — хорда, АВ = m, ОВ — радіус сфери OB = R. Проведемо ОС ┴ АВ.

З ΔСОВ:

Відповідь:

8.

Рівняння сфери з центром у точці (а; b; c) і радіусом R має вигляд:

(х - а)² + (у - b)² + + (z - с)² = R².

1) O(0; 0; 0); R = 5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: x² + у² + z² = 25.

2) O(1; 0; 1); R =5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: (х - 1)² + у² + (z- 1 )² = 25.

2) O(2; 5; -1); R = 5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: (х - 2)² + (у - 5)² + (z + 1)² = 25.

Відповідь:

1) х² + у² + z² = 25;

2) (х - 1)² + у² + (z - 1)² = 25;

3) (x - 2)² + (у - 5)² + (z + 1)² = 25.

9.

1) Складемо рівняння сфери з центром

O(1; -2; 6) і радіусом 3: (х - 1)² + (у + 2)² + (z - b)² = 9.

Перевіримо, чи належить точка (1; —2; 3) отриманій сфері:

(1 - 1)² + (-2 + 2)² + (3 - 6)² = 9; 0 + 0 + (-3)² = 9; 9 = 9.

Отже, точка (1; -2; 3) належить сфері.

2) Складемо рівняння сфери з центром

Р(-1; 2; 0) і радіусом 2: (х + 1)² + + (у - 2)² + z² = 4.

Перевіримо, чи належить точка (1; -2; 3) сфері:

(1 + 1)² + (-2 - 2)² + 9 = 4; 2² + 4² + 9 = 4; 4 + 16 + 9 = 4; 29 = 4.

Рівність неправильна 29 ≠ 4, тобто точка (1; -2; 3) не належить сфері.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

10.

Радіус сфери дорівнює 1, сфера дотикається до координатних площин.

Абсциса і ордината її центра додатні, а апліката від’ємна, отже, центр сфери знаходиться в точці А(1; 1; -1). (х - 1)² + (у - 1)² + (z + 1)² = 1.

Відповідь: (х - 1)² + (у - 1)² + (z + 1)² = 1.

11.

1) O(0; 0; 0); R = 4; 2) O(0; 0; 0); 3) O(5; 1; -1); R = 3;

4) x² + 2х + у² + z² = 8; х² + 2х + 1 - 1 + у² + z² = 8;

(х +1)² + у² + z² = 9; O(-1; 0; 0); R = 3;

5) х² - 2х + у² + 5у + z²- z = 0;

х² - 2х + 1 + у² + 5у + 6,25 + z² - z + 0,25 - 1 - 6,25 - 0,25 = 0;

(х -1)² + (у + 2,25)² + (x - 0,5) ² = 7,5; O(1; - 2,25; 0,5);

12.

При гомотетії з центром у початку координат коефіцієнтом k координати довільної точки, образу M₁(x₁; у₁; z₁) і її прообразу М(х; у; z) пов’язані співвідношенням:

Координати центра даної сфери O(0; 0; 0). Тоді координати центра О₁ шуканої сфери O₁ (0; 0; 0). Радіус, даної сфери дорівнює 4. Тоді радіус шуканої сфери дорівнює:

1) R₁ = 0,5 × 4 = 2. Рівняння сфери з центром у точці O(0; 0; 0) і радіуcом R₁= 2 має вигляд: х² + у² + z² = 4.

2) R₁ = 2 × 4 = 8. Рівняння сфери з центром у точці O₁(0; 0; 0) і радіусом R₁ = 8 має вигляд: х² + у³ + z² = 64.

3) R₁ = │-1│ × 4 = 4. Рівняння сфери з центром у точці О₁(0 0; 0) і радіусом R₁ = 4 має вигляд: x² + у² + z² = 16.

Відповідь: 1) x² + у² + z² = 4; 2) x² + у² + z² = 64; 3) x² + у² + z² = 16.

13.

Оскільки точки 4(1; 0; z) і В(-1; у; 0) належать сфері x² + у² + z² = 10. Підставивши коoрдинати точки A в рівняння сфери, отримаємо: 1² + 0² + z² = 10; z² = 9;

Підставивши координати точки В в рівняння сфери, отримаємо:

(-1)² + у² + 0² = 10; y² = 9; Таким чином, отримали точки і

Відповідь:

14.

1) z = 0; х² + у² = 4; центр кола A(0; 0; 0), r = 2.

2) у = 1; x² + z ² + 1 = 4; x² + z² = 3; центр кола A(0; 1; 0), радіус кола

3) х = 1; 1 + у² + z² = 4; у² + z²= 3; центр кола A(1; 0; 0), радіус кола

3) х + у + z = 2; х² + у² + z ² = 4.

4) Знайдемо відстань р від центра сфери O(0; 0; 0)

До площини заданої рівнянням х + у + z - 2 = 0.

Радіус кола г знайдемо за теоремою Піфагора

Отже, центр колаа радіус

Відповідь: 1) A(0; 0; 0), r = 2; 2) A(0; 1; 0), 3) A(1; 0; 0),

4)

15.

1) Центр сфери (x - а)² + (у — b)² + (x - с) ² = 1 є точка (а; b; c).

Оскільки радіус кулі дорівнює 1, то а = b = с = -1.

Відповідь: (-1; -1; -1).

2) Знайдемо відстань від центра сфери до перерізу

Тоді радіус перерізу дорівнює Площа перерізу

Відповідь:

16.

Нехай ОА — радіус кулі, ОА = 41 дм, OO ₁ — відстань від

центра кулі до січної площини, ОО₁ = 9 дм.

За теоремою 2 маємо:

Відповідь: 1600π дм².

17.

Нехай ОА — радіус сфери,

∠OAO₁ = 45°. Проведемо ОО₁ ┴ АВ (де АВ — діаметр кола перерізу).

З ΔAO₁O:

Отже, довжина кола перерізу С дорівнює С = 2π × АО₁ = 2π × 2 = 4π (м).

Відповідь: 4π м.

18.

Нехай ОА — радіус сфери, ОА = R, АС — діаметр кола перерізу, ∠CAB = α. З’єднаємо точки С і В, отримаємо ΔАСВ, ∠ C = 90°, оскільки він спирається на діаметр. Ο₁ — центр перерізу

Знайдемо АС з ΔАСВ: АС = АВ × cos ∠CAB = 2 · ОА × cos α = 2R × cos α.

1) R = 5см, α = 45°.

Довжина кола перерізу С дорівнює:

2) R = 2 см, α = 30°.

Довжина кола перерізу С дорівнює:

3) R = 4 см, α = 60°.

Довжина кола перерізу С дорівнює: С = 2π × АО₁ = 2π × 2 = 4π (см).

Відповідь: 1) 2) 3) π см.

19.

1)

Нехай ОА = ОВ = 12 см, АВ = 12 см. Оскільки ОА = ОB = 12 см,

то ΔОАВ — рівносторонній, ∠ΑΟΒ = 60°.

Отже, відстань між А і В дорівнює:

2)

Нехай ОА = ОВ = 12 см, АВ = 24 см. Хорда АВ стягує дугу в 180°, отже,

3)

Нехай З ΔСВО:

4)

Нехай ОВ = ОА = 12 см, АВ = 9 см. З ΔСОВ:

Відповідь: 1) 4π см; 2) 12π см; 3) 4)

20.

1 випадок.

Сфери дотикаються зовнішнім дотиком. Нехай ОА і O ₁ A — радіуси сфер,

ОА = 12 дм, О₁А = 10 дм. OO₁ = ОА + О ₁ А = 12 дм + 10 дм = 22 дм.

2 випадок.

Сфери дотикаються внутрішнім дотиком. Нехай ОК і O₁К — радіуси сфер,

OК = 12 дм, O₁K =10 дм. ОО₁ = ОА - O₁A = 12 дм - 10 дм = 2 дм.

Відповідь: 22 дм або 2 дм.

21.

Нехай ОА— радіус кулі, ОА = 15 см, AO₁— висота кульового сегмента.

1) AO₁ = AO - OO₁ = 15 см - 3 см = 12 см;

2) AO₁ = AO - OO₁ = 15 см - 5 см = 10 см;

3) AO₁ = AO - OO₁= 15 см - a см = (15 - a) см.

Відповідь: 1) 12 см; 2) 10 см; 3) (15 - a) см.

22.

1 випадок.

Основи кульового поясу лежать по різні боки від центра кулі.

Нехай ОА, ОВ — радіуси кулі, ОА = ОВ = 5 м. S₁, S₂— площі основ кульового поясу, S₁ = 9π м², S₂ = 16π м²; O₁А, О₂В — радіуси основ кульового поясу,

O₁A ┴ O₁O₂, O₂B ┴ O₁O₂. S₁ = π × Ο₁Α²; 9π = π × Ο₁Α²; Ο₁Α²= 9 (м ²); S₂ = π × O₂B²;

16 = π × O₂Β²·, О₂В² = 16 (м ²). 3 ΔΟΟ₁Α:

З ΔΟΟ₂В: Ο₁O₂ = Ο₁O + Ο₂O = 4 + 3 = 7 (м).

2 випадок.

Основи кульового поясу лежать по один бік від центра кулі.

Нехай ОА и ОB — радіуси кулі, ОА = ОВ = 5.

S ₁, S₂— площі основ кульового поясу.

S ₁ = 16π м², S₂ = 9π м²; Ο₁Α, O₂В — радіуси основ кульового поясу.

Ο₁Α ┴ OO₂, O₂B ┴ OO₂. S₁ = π × Ο₁Α²; 16π = π × Ο₁Α²; Ο₁Α²= 16 (м²);

S₂ = π × Ο₂B²; 9π = π × O₂Β²; O₂Β² = 9 (м ²).

3 ΔOO₂Β:

3 ΔΟΟ₁Α: O₁O₂ = OO₂ - OO₁ = 4 - 3 = 1 (м).

Відповідь: 7 м або 1 м.

23.

Нехай AO = R, О — центр кулі, О₁ — центр перерізу.

Проведемо через точку А дотичну до кола, ОА ┴ m, тоді Ο₁Α ┴ m, отже, ∠Ο₁ΑΟ = α, ∠ OO₁А = 90°.

З ΔΑΟ₁Ο: АО₁ = АО × cos ∠Ο ₁ΑΟ = r cos α.

Отже, площа перерізу S дорівнює: S = π × АО²₁ = π × r²’cos²α.

Відповідь: πr² cos²α.

24.

Нехай ABC — трикутник, AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см, OA — радіус сфери,

OA = 13 см. Виходячи з довжини сторін трикутника, стає очевидним,

що ABC — прямокутний трикутник і центр описаного кола лежить

на гіпотенузі АС. OO₁ ┴ АС.

З ΔAΟ₁Ο:

Відповідь: 12 см.

25.

Кола двох великих кругів С₁ і С₂ — це кола з радіусом R (радіус сфери)

і центр яких співпадає з центром сфери О.

Нехай кола С₁ і С₂ перетинаються в точках А і В, тоді АВ — діаметр цих кіл.

Оскільки ці кола рівні, то вони діаметром АВ діляться навпіл.

26.

Нехай ОА = г, O₁А ┴ ОБ. З ΔΟ₁ΑΟ:

Знайдемо площі перерізів січної площини S₁ і S₂— площа великого круга.

S₂=π × ОС² = π × r²;

Відповідь: 3 : 4.

27.

Нехай центр кулі О, а центри перерізів O₁ і О₂, спільна хорда АВ, С — її середина. Точки О, О₁, С і O₂ є вершинами прямокутника. Його діагональ є відрізок ОС.

З ΔСАО: Якщо радіуси перерізів позначити через 2х і 3x,

то О₁C² = 4х² - 1 і O₂С² = 9x² - 1. Таким чином, отримаємо рівняння:

4x² - 1 + 9х² - 1 = 323; 13x² = 325; х² = 25; х = 5 (м), отже, шукані радіуси 10 м і 15 м,

а шукані площі перерізів S₁ = 225π см², S₂ = 100π см².

Відповідь: 100π см², 225π см².

28.

Нехай О — центр кулі, О₁, О₂ — центри перерізів, АВ — спільна хорда, АВ = 16 см. Точки О, O₁, O₂ і С — є вершинами прямокутника. Його діагональ є відрізок ОС. S₁, S, — площі перерізів, S₁ = 185π см², S₂ = 230π см².

3 ΔСВO₂:

З ΔСВО₁:

З ΔСOO₂:

З ΔCAQ:

Відповідь: 21 см.

29.

Нехай О — центр кулі, О₁, O₂ — центри перерізів, S₁, S₂— площі перерізів,

ОА = ОВ = ОС = г.

З ΔО₁BО:

З AO₂AO:

Відповідь: 8 : 5.

31.

Нехай ОА = ОВ = 112 м, площина α дотикається до сфери у точці А, МА =15 м. З’єднаємо точки О і Μ, ΔОАМ — прямокутний, оскільки дотична площина перпендикулярна до радіуса у точці дотику.

З ΔOAM: MB = ОМ - OB = 113 - 112 = 1 (м).

Відповідь: 1м.

32.

1) x² + y² + z² = 6; x + у + z - 6 = 0.

Знайдемо відстань від центру сфери O(0; 0; 0) до площини x + y + z - 6 = 0;

Радіус сфери Отримаємо R < ρ, оскільки

Отже, сфера і площина не мають спільних точок.

2) x² + у² + z²= 16; 2х - 2у + z - 12 = 0.

Знайдемо відстань від центра сфери O(0; 0; 0) до площини 2x - 2у + z - 12 = 0;

Радіус сфери R = 4. Отже, R = ρ, тобто площина дотикається до сфери.

Відповідь: 1) не має спільних точок; 2) дотикається.

33.

Нехай куля дотикається до однієї грані двогранного кута у точці А, до другої — у точцi В. ОА ┴ АС, OB ┴ СВ, ОС = а.

1) З ΔОАС: ЗΔАОВ:

2) З ΔАОС: З ΔАОВ:

3) З ΔАОС: З ΔАОВ:

Відповіді: 1) а; 2) 3)

34.

Розглянемо переріз площиною, яка проходить через центр кулі перпендикулярно до ребра двогранного кута. Нехай O₁A₁ = r, ОА = R; О₂Д₂ = R₁; R + r = QO - QO₁.

Відповідь:

35.

1)

Знайдемо радіус сфери вписаної в піраміду ВАВО із формули:

ΔΑΟΒ = 18.

Із ΔΒΟΑ:

Із ΔАОВ:

Із ΔSKA:

S = 36 + 36 + 18 + 54 = 144.

Тоді 72 = 48г,

Тоді рівняння сфери: (х - 1,5)² +(у + 1,5)² + (z - 1,5) ² = 2.25.

2)

Нехай А і В — точки дотику сфери до площин xOz і уОz, тоді рівняння сфери має вигляд (х - З)² + (у - З)² + (z - с)² = 9. Знайдемo с, виходячи з того, що сфера проходить через тoчку М(2; 5; 3): (2 - З)² + (5 - 3)² + (3 - с)² = 9; 1 + 4 + (3 - с)² = 9;

(3 - с)² = 4; 3 - с = 2 або З - с = -2; с = 1 або с = 5. Отже, таких сфер дві:

(х - 3)² + (у - З)² + (z - 1)² = 9, (x - З)² + (у - З)² + (z - 5)² = 9.

36.

Оскільки А(-1; 2; -3) — точка дотику, то —^: нормальний вектор

Нехай М(х; у; z) — довільна точка шуканої площини, то — вектор,

що лежить у січній площині.

Оскільки то маємо: (х + 1) × (-1) + (у - 2) × 2 + (z + 3) × (-3) = 0;

-x - 1 + 2у - 4 - Зz - 9 = 0; -х + 2у - 3z = 14; х - 2у + Зz = -14.

Відповідь: х - 2у + Зz = -14.

37.

Нехай площина α дотична до кулі, А — точка дотику, β — площина, проведена під кутом α до першої, ∠BAD = α. Оскільки площина дотикається до кулі у точці А,

OA ┴ α. Отже, ОА перпендикулярна до будь-якої прямої цієї площини, ОА ┴ ED. ∠OAC = 90° - α. З ΔОСА: АС = ОА × cos(90° - α) = R × sin α.

Отже, площа утвореного перерізу: S = π × АС² = πR² sin²α.

Відповідь: πR² sin²α.

38.

Нехай сторони рівнобічної трапеції дотикаються до кулі у точках E, F, К, L кульової поверхні. Оскільки площина ABCD перетинає кулю по колу, то коло з центром у точці О буде вписаним у трапецію ABCD. Проведемо BP ┴ AD,

Оскільки коло вписане в трапецію, то AD + CD = ВС + AD;

АВ + CD = 52; АВ = CD = 26 (см).

З ΔВАР:

Отже, радіус вписаного кола О₁К = 12 см.

З ΔΟ₁КΟ:

Відповідь: 35 см.

39.

На рисунку зображено переріз куль площиною, яка проходить через їх центри О₁ і О₂

Нехай Ο₁Α = 2 м, О₂A = 4 м, O₁O₂ = 3 м.Оскільки O₁A + O₂A > ОО₁ і О₂A - Ο₁Α < O₁O₂,

то поверхні куль перетинаються по колу. АВ діаметр цього кола, знайдемо площу трикутника АO₁O₂ за формулою Герона:

де

З іншого боку

Відповідь:

40.

1) х² + y² + z² = 100; центр сфери O(0; 0; 0), радіус R = 10.

х² + у² + z² — 38x - 16у — 8z + 152 = 0;

(x² — 38x + 361) + (у² — 16y + 64) + (z² — 8z + 16) = 289;

(x - 19)²+ (у - 8)² + (z - 4)² = 289; центр сфери О₁(19; 8; 4), R₁ = 17.

Знайдемо відстань між центрами сфер:

R₁- R = 17 - 10 = 7; R₁ + R = 17 + 10 = 27.

Якщо R₁- R < OO₁ < R₁ + R, то сфери перетинаються.

7 < 21 < 27. Отже, сфери перетинаються.

2) х² + у² + z² = 4; центр сфери O₁ (0; 0; 0), радіус R₁ = 2.

х² + у² + z²- 24х - 12у + 16z + 168 = 0;

(x² — 24x+ 144) + (у² — 12y + 36) + (z² + 16z + 64) = 76;

(x - 12)² + (у - 6)² + (z + 8)² = 76; центр сфери O₂(12; 6; -8),

Радіус

Знайдемо відстань між центрами сфер.

R₂- R₁ = 8,71 - 2 = 6,71; R₂ + R₁ = 2 + 8,71 = 10,71.

ОО₁ > R₂ + R₁, отже, сфери не перетинаються.

Відповідь: 1) перетинаються; 2) не перетинаються.

41.

Рівняння площини, яка паралельна площині 2x - 3у + z + 1 = 0,

має вигляд: 2x - 3у + z + d = 0. Оскільки площина 2x - 3y + z + d = 0

проходить через центр сфери (0; 0; 0), то маємо: 2 × 0 - 3 × 0 + 0 + d = 0;

Отже, шукана площина 2x - 3у + z = 0.

Відповідь: 2х - 3у + z = 0.

42.

На рисунку зображено переріз кулі площиною, яка проходить через їх центри O₁і O₂ (рис. 1).

Нехай AO₁ = 25 см, АО₂ = 30 см. Поверхні кулі перетинаються по колу, довжина якої С = 48π см; С = 2π × АС; 48π = 2π × АС; АС = 24 (см).

З ΔО₂AС:

З ΔО₁АС:

Отже: O₁O₂ = O₂C+ O₁C = 18 + 7 = 25 (см).

Або при розташуванні сфер, як зобрaжено на рис. 2. О₁O₂ = O₂C - O₁C = 18 - 7 = 11 (см).

Відповідь; 11 см або 25 см.

43.

1)

Геометричним місцем прямих, що дотикаються до даної сфери в заданій

точці А є дотична площина до сфери, проведеної через задану точку А.

2) Геометричним місцем прямих, що паралельні даній прямій а

і дотикаються до даної сфери з центром О є циліндрична поверхня,

твірні якої паралельні прямій а і дотикаються до сфери.

3)

Геометричним місцем прямих, що дотикаються до даної сфери з центром O і проходять через задану точку S є конічна поверхня з вершиною S i твірною SA, де А — точка дотику прямої і сфери.

44.

Геометричним місцем точок рівновіддалених на а від даної точки М є сфера з центром в точці М і радіуса а. Геометричним місцем точок віддалених на b від даної площини є дві площини, які паралельні даній площині і знаходяться на відстані b від неї. Отже, шуканим геометричним місцем точок є переріз сфери і двох паралельних площин. Можливі випадки: шукане геометричне місце точок є:

а) два кола;

б) коло і точка;

в) дві точки;

г) порожня множина;

д) одна точка.

45.

1. Геометричним місцем точок, які є центрами сфер радіусів R, що дотикаються до сфери радіуса r, є:

а)

сфера, центр якої збігається з центром сфери радіуса r і радіус якої дорівнює r + R, якщо R > r;

б)

дві сфери, центри яких збігаються з центром сфери радіуса r і радіус яких дорівнює

r + R і r - R, якщо R < г.

2. Геометричним місцем точок, які є центрами перерізів даної кулі радіуса R, які мають однакові площі заданої величини Q є:

а)

центр заданої кулі, якщо Q = πR²;

б)

порожня множина, якщо Q > πR²;

в) сфера радіуса центр якої збігається з центром заданої кулі, якщо Q < πR².

Геометричним місцем точок, які є серединами хорд сфери, які проведені з однієї точки М є: сфера діаметром якої є ОМ, де О — центр даної сфери, а центр сфери — середина відрізка ОМ.

Геометричним місцем точок, які є серединами хорд, які паралельні даній прямій a є великий круг кулі, площина якого перпендикулярна до прямої а.

5. Геометричним місцем точок, які є серединами хорд даної сфери, якщо довжина кожної хорди дорівнює а є:

а)

порожня множина, якщо а > 2R, де R — радіус даної сфери;

б)

центр даної сфери, якщо а = 2R, де R — радіус даної сфери;

в) сфера радіуса якщо а < 2R, де R — радіус даної сфери.