Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 3. Тіла. Багатогранники. Тіла обертання

§ 14. Багатогранники. Правильні багатогранники

Завдання 11

3.

Найменша кількість ребер, що сходиться в одній вершині багатогранника — три.

4.

В одній вершині багатогранника може сходитися безліч ребер.

Розглянемо піраміду з n-кутником в основі. Яким би великим не було число п,

завжди можна побудувати піраміду, основа якої має n + 1 вершин.

5.

Розглянемо трикутну піраміду. Кількість її ребер шість.

Шість — це найменша кількість ребер, яку може мати багатогранник.

6.

1) Куб має 12 двогранних кутів.

2) Куб має 8 тригранних кутів.

3) Куб не має чотиригранних кутів. .

4) Куб має дві діагоналі.

7.

Розглянемо тетраедр. Він має 6 двогранних кутів та чотири тригранних.

Тому найменша кількість багатогранних кутів для багатогранника — 10.

8.

1) Багатогранник, що має є вершин і 5 граней.

2) Багатогранник, у якого число вершин і число граней однакове.

9.

Ні, не правий. В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат,

а в основі прямокутного паралелепіпеда — прямокутник.

10.

Так, це означення є правильним.

11.

Розглянемо призму, в основі якої лежить трикутник.

В цій призмі не можна провести жодної діагоналі.

12.

Виходячи з означення правильної трикутної піраміди, не можна стверджувати,

що її бічні ребра дорівнюють ребрам основи. Тому правильну трикутну піраміду

не можна назвати правильним багатогранником.

13.

Виходячи з означення призми всі відрізки, які сполучають відповідні точки

основ паралельні деякій прямій 1, а значить вони паралельні друг другу.

Таким чином ребра призми паралельні.

14.

В основі такої призми має лежати правильний багатокутник.

15.

Утворена фігура не буде правильним багатогранником,

оскільки не буде виконуватися вимога стосовно того, що в кожній вершині

сходиться одне й те саме число ребер.

16.

Ні, такого багатогранника не існує.

17.

Трикутна призма має 9 двогранних кутів.

18.

1) Багатогранник має 12 двогранних кутів.

2) Багатогранник має 24 плоских кути.

19.

Розглянемо призму, в основі якої лежить n-кутник. Порахуємо її ребра.

n ребер належить нижній основі, n ребер належить верхній основі,

а також n бічних ребер. Загальна кількість Зn, а це число кратне трьом.

Значить, твердження вірне.

20.

Оскільки число ребер призми кратне трьом (див. № 19),

то в основі призми лежить багатокутник, який має 18 : 3 = 6 граней.

Тобто в основі лежить шестикутник.

21.

1) n-кутна піраміда має (п + 1) вершину, 2n ребер (n ребер основи і n бічних ребер), (n+ 1) грань (n бічних і одна грань — основа).

2) Розглянемо n-кутну піраміду. В основі лежить n-кутник, який має n плоских кутів. Розглянемо одну з бічних граней. Це трикутник, він має З плоских кута. В піраміді n бічних граней. Для них кількість плоских кутів буде Зn, тому загальна кількість плоских кутів 4n.

.,·

22.

Розглянемо піраміду, в основі якої лежить n-кутник. Порахуємо кількість її ребер,

n-кутник має n ребер. Крім того, є ще n ребер, які сполучають вершини багатокутника основи з вершиною піраміди. Загальна кількість 2n, а це число парне.

23.

Бічні грані піраміди — трикутники. Їх n штук. Сума кутів кожного трикутника 180°. Значить сума плоских кутів бічних граней буде дорівнювати 180°n.

В основі піраміди лежить n-кутник. Сума його кутів 180 (n - 2).

Тоді сума всіх плоских кутів n-кутної піраміди 180°n + 180°(n - 2) = 360 (n — 1).

24.

Оскільки число плоских кутів n-кутної піраміди кратне 4 (див. № 21 (2)),

то піраміда не може мати 18 плоских кутів і може мати 20 плоских кутів.

25.

1) Так, інші Ірані можуть бути трикутниками. Наприклад, п’ятикутна піраміда.

2) Ні, інші грані не можуть бути чотирикутниками.