АСТРОНОМІЯ - М. В. Головко 2018

Частина 1. Космографія

Розділ II. Рух небесних світил та основи практичної космографії

ТЕМА 1.2. ВИДИМІ РУХИ СВІТИЛ

§ 9. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Видимий рух семи яскравих світил на сфері нерухомих зір, загадковий для стародавніх астрономів, К. Птолемей пояснив комбінацією рівномірних колових рухів. Але це пояснення не спиралося на справжні закономірності їхнього руху в космічному просторі.

1. Закони Кеплера.

Закони руху планет знайшов Йоган Кеплер на підставі точних спостережень планети Марс, які впродовж багатьох років виконував відомий данський астроном Т. Браге (Й. Кеплер був помічником Т. Браге в останні роки його життя). Тривалі, виснажливі пошуки впродовж 1600-1609 рр. дали йому змогу встановити три закони руху планет.

Перший закон Кеплера. Кожна з планет рухається навколо Сонця по еліпсу, в одному з фокусів якого міститься Сонце.

Еліпс (рис. 9.1) - це замкнена крива, сума відстаней до кожної точки якої від фокусів F₁ і F₂ рівна його великій осі, тобто 2а, де a - велика піввісь еліпса.

Якщо Сонце перебуває у фокусі F₁, а планета у точці P, то відрізок прямої F₁P називають радіус-вектором планети.

Рис. 9.1. Орбіта планети Сонячної системи - еліпс

Орбіти планет у Сонячній системі мало відмінні від колових. Найближчу до Сонця точку планетної орбіти П називають перигелієм, найвіддаленішу точку орбіти А - афелієм. Земля проходить перигелій 3 січня, а афелій - 4 липня. Внаслідок гравітаційних збурень точки перигелію й афелію дещо зміщуються вздовж орбіти Землі, тому вказані дати проходження Землі через перигелій і афелій є середніми для нашої епохи.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові інтервали часу описує рівновеликі площі.

З цього закону випливає важливий висновок: раз площі 1 і 2 (рис. 9.2) рівні, то по дузі Р₁Р₂ планета рухається з більшою швидкістю, ніж по дузі Р₃Р₄ тобто швидкість планети найбільша в перигелії П і найменша в афелії А.

Рис. 9.2. Ілюстрація другого закону Кеплера

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

Якщо сидеричні періоди обертання двох планет позначити Т₁ і Т₂, а великі півосі еліпсів - відповідно a₁ і a₂, то третій закон Кеплера має вигляд:

Пропорцію (9.1) можна, переставивши члени, записати так:

Ця формула показує, що частка від ділення куба великої півосі на квадрат періоду обертання планети навколо Сонця є сталою величиною й однакова для всіх планет Сонячної системи; тому її досить обчислити для однієї якої-небудь планети. Числова величина цієї сталої залежить від того, в яких одиницях виражено відстань і період обертання планети. Якщо за одиницю взяти зоряний рік і астрономічну одиницю, то С = 1, і отже, опускаючи індекси, a³ = T² або T = а^3/2.

Частіше за одиницю часу беруть середню добу. Тоді для Землі а = 1, Т = 365,26 доби, і формула (9.2) дає для сталої

Ця формула виражає період обертання планети в добах.

Третій закон Кеплера, як і два інших, справедливий не лише для планет, а й для інших небесних тіл, наприклад, для супутників планет та штучних супутників. Тільки стала третього закону, застосованого до якої-небудь планети і її супутників, матиме інше числове значення.

2. Елементи планетних орбіт.

Рух планети у просторі повністю визначають значення шести величин, які називаються елементами орбіти (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Елементи орбіти планети

Величини ці такі:

1. Кут між площинами орбіти Землі й орбіти планети називають нахилом орбіти і. Планета обертається навколо Сонця в тому напрямку, що й Земля (прямий рух), якщо 0 < і < 90°. Коли 90° < і < 180° - у протилежному, тобто зворотнім рухом. Так рухаються тільки деякі комети, а всі планети й більшість комет мають прямий рух.

2. Лінію перетину площин орбіти планети й орбіти Землі називають лінією вузлів. Довготу вузла, в якому планета переходить з південної півкулі неба в північну, називають довготою висхідного вузла <. Довгота висхідного вузла < та нахил і визначають положення площини орбіти у просторі.

3. Кут між висхідним вузлом і перигелієм, який відлічують у площині орбіти, називають кутовою відстанню перигелія ω. Іноді замість ω вживають довготу перигелія π = < + ω. Кут π відлічують у двох площинах: у площині орбіти Землі (<) і в площині орбіти планети (ω).

Кутова відстань перигелія ω визначає положення орбіти в її площині.

4. Велика піввісь еліпса а.

5. Ексцентриситет орбіти, де а і b - півосі еліпса орбіти.

Велика піввісь а і ексцентриситет е визначають розміри і форму орбіти.

6. Момент проходження через перигелій Т₀.

Знаючи шість елементів і, <, ω, е, а, Т₀, можна із законів Кеплера встановити положення планети на будь-який момент часу в різних часових інтервалах: роки, століття, тисячоліття. Обчислені наперед положення планет називають ефемеридами і подають їх у вигляді таблиць, де положення планети подано на кожний день на багато років уперед.

Уперше завдання визначення орбіти небесного тіла з небагатьох спостережень постало тоді, коли виникла потреба визначити орбіти комет. Задачу цю можна сформулювати так: є ряд спостережень положень тіла Сонячної системи, що рухається під дією сили всесвітнього тяжіння. Треба визначити елементи еліпса (або параболи), яким рухається це тіло.

Метод визначення параболічних орбіт комет створив Ньютон, який уперше обчислив елементи орбіти комети 1680 р. Після відкриття астерїдів їхні орбіти обчислювали також з небагатьох спостережень.

3. Основи визначення відстаней в Сонячній системі.

Вимірюючи відстані в Сонячній системі, як базис беруть середню відстань Землі від Сонця, тобто астрономічну одиницю. Такі виміри вперше зробив Коперник. Але всі одержані при цьому значення відносні, бо виражені в а. о. Щоб визначити їх величину в кілометрах, потрібно виміряти в кілометрах сам базис, тобто відстань Землі від Сонця.

її визначення було одним з найважливіших завдань в астрономії й водночас дуже складним. Паралакс Сонця малий - менший за 9". Його не могли визначити точно шляхом спостережень паралактичного зміщення з двох віддалених точок земної поверхні, бо сонячне тепло, діючи на інструменти, спричиняло великі похибки. Тому використовували непрямі методи. Наприклад, можна обчислити відносні відстані двох планет від Сонця й однієї від іншої. Далі досить виміряти одну відстань, щоб можна було знайти всі інші. Або вимірюють горизонтальний паралакс планети, яка підходить до Землі на відстань меншу, ніж відстань від Землі до Сонця, і яку спостерігати зручніше.

Для цього часто використовували спостереження Марса. Він міститься від Сонця далі, ніж Земля, і кожні два роки підходить до неї на відстань в середньому вдвічі меншу, ніж між Землею і Сонцем. Це буває в момент протистоянь, коли Сонце С, Земля T і Марс M лежать приблизно на одній прямій. У цей час горизонтальний паралакс Марса можна виміряти з великою точністю. Перехід від паралакса Марса до паралакса Сонця здійснюється так (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Визначення паралакса Сонця

Нехай а і р_◙ позначають відповідно середню відстань і паралакс Сонця, р - паралакс Марса, а₁ - його середню відстань від Сонця, R - радіус Землі. Припустімо, що всі три тіла лежать на одній прямій і на своїх середніх відстанях від Сонця, і тоді матимемо з рис. 9.4:

Прирівнюючи праві частини і заміняючи синуси малих дуг самими дугами р і р_◙, матимемо ар◙ = (а₁ — a) p; звідси знаходимо

Відношеннявизначають з теорії руху планети за третім законом Кеплера (див. п. 1 цього параграфа).

Для вимірювання паралакса Сонця використовували спостереженння деяких астероїдів. Після появи радіоастрономії відстані до тіл Сонячної системи стали визначати з допомогою радіолокації.

4. Визначення мас небесних тіл.

На підставі закону всесвітнього тяжіння (F = Gm₁m₂/r²) Ньютон створив новий напрямок в астрономії - небесну механіку, завданням якої є дослідження руху небесних тіл під дією їх взаємного тяжіння. Першим успіхом стало узагальнення ним же третього закону Кеплера. Виявилося, якщо дві маси m₁ і m₂, обертаються навколо свого центра мас з періодом Т на відстані а одна від одної, то виконується співзалежність

За умови, що m₁ > m₂ формулу (9.4) можна записати так:

Точно так, порівнюючи дані про систему Земля - Місяць і систему «планета - її супутник», можна визначити масу будь-якої планети.

Обертаючись навколо Сонця, кожна з планет відчуває гравітаційний вплив з боку інших своїх сусідів. Внаслідок цього відбуваються відхилення (інакше збурення) в русі планет від кеплеровських орбіт, які також вивчає небесна механіка. Наприклад, незабаром після відкриття планети Уран виявилося, що в її русі є відхилення від кеплеровської орбіти. Вважаючи, що вони спричинені тяжінням ще невідомої планети, яка лежить за Ураном, англійський астроном Джон Адамс і французький учений Урбен Левер'є незалежно один від одного виконали розрахунки і визначили її положення серед зір. На прохання Левер'є астроном Берлінської обсерваторії Йоганн Галле 23 вересня 1846 р. виявив нову планету - Нептун. Це був перший в історії астрономії випадок, коли існування нової планети передбачили на підставі теорії, обчислили її координати, а вже потім відкрили зі спостережень. Відкриття Нептуна «на кінчику пера» показало можливості небесної механіки.

Маси планет, які не мають супутників, визначають з аналізу збурень, які вони викликають у русі інших тіл Сонячної системи. Масу Меркурія визначено за збуреннями руху комети Енке; масу Венери - за збуреннями руху Місяця.

ТИПОВА ЗАДАЧА

Користуючись 3-м законом Кеплера, знайдіть сидеричний період обертання тіла з великою піввіссю орбіти 4 а. о.

Розв'язання: Дано: а₂ = 4 а. о. Знайти Т₂. Теретій закон Кеплера:

Припустимо, що першим тілом є Земля. Для неї а₁ = 1 а. о., Т₁ = 1 рік. Тоді з виразу для третього закону Кеплера отримуємо співзалежність

Відповідь: Т₂ = 8 років.

НАВЧАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Визначити масу Юпітера m, якщо відомо, що його супутник Ганімед обертається навколо планети на відстані а = 1070000 км з періодом Т = 7,2 доби.

Розв'язання: З формули (9.5) m = 4π²/G а³/Т² підставляючи числові значення, знаходимо

Відповідь: Маса Юпітера становить майже 2 · 10²⁷ кг.

ВИСНОВКИ

Три закони руху планет встановив Йоган Кеплер. Ці закони справедливі не лише для планет, але й для їх супутників, як природних, так і штучних. Узагальнений третій закон Кеплера дозволяє визначати маси небесних тіл.